10.4.2. Расчет взаимной интенсивности и степени когерентности для света от протяженного некогерентного квазимонохроматического источника.

а. Теорема Ван-Циттерта—Цернике. Определим взаимную интенсивность и комплексную степень когерентности для точек экрана , освещаемого протяженным квазимонохроматическим первичным источником а. Для простоты в качестве а возьмем часть плоскости, параллельной , и предположим, что среда между источником и экраном однородна. Допустим также, что малы как линейные размеры а по сравнению с расстоянием между источником и экраном (рис. 10.3), так и углы между и линиями, соединяющими произвольную точку источника с точками

Вообразим, что источник разделен на элементы с линейными размерами, малыми по сравнению со средней длиной волны X, и центрами,

находящимися в точках Если комплексные возмущения в точках обусловленные элементом то общее возмущение в этих точках равно

Следовательно,

Рис. 10.3. К теореме Ван-Циттерта—Цернике.

Световые колебания, создаваемые различными элементами источника, можно считать статистически независимыми (взаимно некогерентными), причем среднее значение поля равно нулю; тогда

Если расстояния точек до элемейта источника , то

где характеризует силу, — фазу излучения от элемента, скорость света в среде между источником и экраном. Следовательно,

Если разность хода мала по сравнению с длиной когерентности света, в аргументе можно пренебречь запаздыванием Тогда из (15), (16) и (18) получим

Величина характеризует интенсивность излучения, испускаемого элементом источника . В любом практически интересном случае число элементов источника можно считать настолько большим, что мы вправе рассматривать источник как непрерывный. Обозначая через интенсивность на единицу площади источника, т. е. получим

вместо (19)

где — расстояния между произвольной точкой источника и точками — волновое число в среде. Комплексная степень когерентности согласно (20) и (96), равна

где

интенсивности в точках и

Мы видим, что интеграл (21) совпадает с интегралом, который появляется в другом случае, а именно при вычислении на основе принципа Гюйгенса — Френеля комплексного возмущения в дифракционной картине, возникающей при дифракции сферической волны на отверстии в непрозрачном экране. Точнее, (21) означает, что комплексная степень когерентности, которая описывает корреляцию колебаний в фиксированной точке и переменной точке плоскости, освещенной протяженным квазимонохроматическим первичным источником, равна нормированной комплексной амплитуде в соответствующей точке некоторой дифракционной картины с центром в точке . Эта картина получится, если заменить источник дифракционным отверстием такого же размера и формы и заполнить его сферической волной, сходящейся в причем распределение, амплитуд по волновому фронту в отверстии должно быть пропорциональным распределению интенсивности по источнику. Этот результат впервые был получен Ван-Циттертом [8], а позднее, более простым способом, Цернике [11]. Мы будем именовать его теоремой Ван-Циттерта—Цернике.

В большинстве приложений можно считать, что интенсивность не зависит от положения точки на поверхности (постоянная интенсивность). Тогда соответствующая дифракционная проблема совпадает с проблемой дифракции сферической волны постоянной амплитуды на отверстии такого же размера и формы, как и источник.

Пусть — координаты произвольной точки источника в системе с началом в точке О, и пусть — координаты точек и в системе с началом в точке О и осями, параллельными осям первой системы (см. рис. 10.3), Тогда, если — расстояние , то

так что

Здесь оставлены лишь основные члены относительно Для получается точно такое же выражение и, следовательно,

В знаменателе подынтегральных выражений (20) и с достаточно хорошей точностью можно заменить на Положим также

Тогда (21) примет вид

Следовательно, если линейные размеры, источника и расстояние между и малы по сравнению с расстоянием чтих точек от источника, степень когерентности равна абсолютному значению нормированного преобразования Фурье от функции, описывающей интенсивность источншш.

Величина определяемая (25), допускает простую интерпретацию. Согласно (23) она представляет собой разность фаз которой, очевидно, можно пренебречь, когда

Для однородного источника в виде круга радиуса с центром в точке О, интегрируя (26), получим (см. п. 8.5.2)

где

функция Бесселя первого рода первого порядка. Согласно величина монотонно уменьшается от значения, равного единице при до нулевого значения при Таким образом, степень когерентности монотонно уменьшается, когда точки удаляются друг от друга. При удалении на расстояние

достигается полная некогёрентность. При дальнейшем увеличении вновь возникает небольшая когерентность, но степень ее остается меньше 0,14. Полная некогерентность вновь наступает при Проходя через нуль, функция каждый раз меняет знак, т. е. фаза при этом изменяется на . Следовательно, после каждого исчезновения полос яркие и темные полосы меняются местами.

Функция монотонно уменьшается от значения, равного единице при до 0,88 при , т. е. при

Считая отклонение в 12% максимально допустимым отклонением от идеального значения, равного единице, получим, что кеазилюнохроматический однородный источник углового радиуса почти когерентно освещает площадку в виде круга диаметром Этот результат полезен при оценке

размеров источника, требуемых при проведении экспериментов по интерференции и дифракции.

В качестве примера рассмотрим размеры «области когерентности» вокруг произвольной точки экрана, освещаемого непосредственно Солнцем. Угол под которым солнечный диск виден на поверхности Земли, составляет около рад. Следовательно, если пренебречь изменением яркости по поверхности солнечного диска, диаметр области когерентности приблизительно равен Для средней длины волны см получим да 0,01 мм.

В связи с изложенным выше предстает в новом свете метод Майкельсона измерения угловых диаметров звезд (см. п. 7.3.6). Согласно (5) и (13) видность полос равна степени когерентности световых колебаний на двух внешних зеркалах на рис. 7.16) звездного интерферометра Майкельсона. Для звездного диска в виде круга постоянной яркости с угловым радиусом а наименьшее разделение зеркал, при котором степень когерентности обращается в пуль (первое исчезновение полос), равно, согласно (30), , что соответствует (7.3.42). Более того, из измерений видности и положения полос в принципе можно определить не только диаметр звезды, но и распределение интенсивности по ее диску. В самом деле, согласно п. 10.4.1, измерения видности и положения полос эквивалентны определению как амплитуды, так и фазы комплексной степени когерентности а согласно (26) распределение интенсивности пропорционально обратному фурье-преобразованию

7.3.6 мы упоминали о важной модификации звездного интерферометра Майкельсона, предложенной Брауном и Твиссом. В разработанной ими системе свет от звезды фокусируют на два фотоэлектрических детектора и информация о звезде получается путем изучения корреляции флуктуаций их выходных токов. Полный анализ характеристик такой системы должен учитывать квантовую природу фотоэффекта; он требует также определенных знаний по электронике и поэтому выходит за рамки настоящей книги. Однако нетрудно понять принцип метода. При идеальных условиях эксперимента (отсутствие шума) ток на выходе каждого фотоэлектрического детектора пропорционален мгновенной интенсивности падающего евета, а флуктуация этого тока пропорциональна Следовательно, в интерферометре Брауна и Твисеа измеряется величина, пропорциональная Простой статистический расчет показывает [59] (см. также [60]), что пропорционально квадрату степени когерентности и, значит, величина так же как и дает информацию о размере звезды.

б. Формула Гопкинса. При выводе формулы Ван-Циттерта — Цернике (21) мы считали, что среда между источником а и точками однородна. Нетрудно обобщить эту формулу на другие случаи, например на случай неоднородной среды или среды, состоящей из ряда однородных областей с разными показателями преломления.

Вновь представим себе, что источник разделен на небольшие элементы с центрами в точках причем линейные размеры этих элементов малы по сравнению со средней длиной волны X. Если, как и раньше, — возмущения в точках обусловленные элементом то уравнения (15) и (16) остаются по-прежнему справедливыми, но в (17) каждый множитель необходимо заменить более общей функцией. Введем функцию пропускания среды определяемую так же, как это было сделано в п. 9.5.1. Она представляет комплексное возмущение в точке Р, обусловленное монохроматическим точечным источником с единичной силой и нулевой фазой, испускающим излучение частоты и расположенным в точке элемента Для однородной среды из принципа

Гюйгенса — Френеля находим, что , где — расстояние при этом предполагается, что угол между и нормалью к достаточно мал. В более общем случае множитель необходимо заменить на и тогда, переходя к непрерывному распределению, вместо (20) мы получим следующее соотношение:

Согласно (32) и (96) имеем

где интенсивности в точках соответственно.

Для дальнейшего полезно представить последние два соотношения в несколько иной форме. Положим

Тогда формулы (32) и (33) примут вид

Отметим, что определяемая соотношением (34) величина пропорциональна возмущению, которое возникало бы в точке Р от строго монохроматического точечного источника, испускающего излучение частотой (с силой и нулевой фазой) и расположенного в точке Таким образом, можно рассматривать формулы (35) как соотношения, выражающие взаимную интенсивность и комплексную степень когерентности обусловленные протяженным квазимонохроматическим источником, через возмущения, создаваемые в каждой точкой ассоциированного монохроматического источника.

Выражение (356) было впервые предложено Гопкинсом [12], исходившим из эвристических предположений. Оно чрезвычайно полезно при решении проблем когерентности в инструментальной оптике. Основная ценность этой формулы состоит в том, что так же, как и теорема Ван-Циттерта — Цернике, она позволяет рассчитать комплексную степень когерентности света, испускаемого некогерентным источником, без явного использования процесса усреднения,