3.2.3. Конгруэнции лучей и фокальные свойства.

Соотношение (15), а именно

определяет все системы лучей, которые могут существовать в изотропной среде, и выделяет их из более общих семейств кривых. В однородной изотропной среде показатель преломления постоянен, и поэтому (21) принимает вид

В неоднородной изотропной среде лучи также можно описать соотношением, не зависящим от . Его можно получить из (21), если воспользоваться тождеством , а затем умножить соотношение (21) скалярно на . В результате получим, что система лучей в любой изотропной среде должна, удовлетворять соотношению

Система кривых, заполняющих некоторую часть пространства так, что через каждую точку данной области, в общем случае проходит одна кривая, называется конгруэнцией. Говорят, что конгруэнция нормальна, если существует семейство поверхностей, пересекающих каждую кривую под прямым углом; если такого семейства нет, то говорят о косой конгруэнции. В обычной геометрической оптике (распространение света) рассматривают только нормальные конгруэнции, однако в электронной оптике (см. приложение 2) важную роль. играют и косые конгруэнции.

Если все линии, составляющие конгруэнцию, имеют вид прямых, то такая конгруэнция называется прямолинейной; формулы (23) и (24) служат

необходимыми и достаточными условиями того, что конгруэнция является соответственно нормальной и нормальной прямолинейной.

Выберем на одной из ортогональных поверхностей систему криволинейных координат Каждой точке на этой поверхности соответствует одна кривая конгруэнции, а именно кривая, пересекающая данную поверхность в точке . Пусть — радиус-вектор точки Р, расположенной на такой кривои Величину можно рассматривать как функцию координат и длины дуги точки до Р, измеренной вдоль кривой (рис. 3.9).

Рис. 3.9 К введению понятия нормальной конгруэнции

Рассмотрим две соседние кривые из конгруэнции, пересекающие поверхность в точках и выясним, имеются ли на этих кривых такие точки, расстояние между которыми второго иди более высокого порядка малости (говорят, что кривые в таких точках имеют пересечение первого порядка) Точки подобного типа называются фокусами и удовлетворяют уравнению

с точностью до членов второго порядка малости.

Разлагая (24) в ряд, получим

где частные производные по . Из условия (25) следует, что и компланарны. Это лквивалеитно утверждению, что смешанное произведение этих трех векторов равно нулю, т. е.

Число фокусов на данной кпивой зависит от числа значений удовлетворяющих уравнению (26) Если есть полином по степени то, поскольку является уравнением относительно степени частности, если конгруэнция прямолинейна, то — линейная функция , следовательно, на каждом луче, прямолинейной конгруэнции имеются два фокуса.

Если величины и и принимают все возможные значения, то фокусы образуют поверхность, которая описывается уравнением (25) и называется фокальной поверхностью, в оптике она называется каустической поверхностью Любая кривая данной конгруэнции касается фокальной поверхности в каждом своем фокусе Плоскость, касающаяся фокальной поверхности в какой-либо точке, называется фокальной плоскостью

В дальнейшем мы будем в основном изучать поведение лучей в однородной среде, т. е. рассматривать лишь прямолинейные конгруэнции В § 4.6 при рассмотрении астигматических пучков лучей мы обсудим и некоторые другие свойства таких конгруэнций.