1.1.4. Закон сохранения энергии для электромагнитного поля.

В рамках электромагнитной теории интенсивность света интерпретируется как поток энергии поля. Поэтому необходимо вспомнить формулировку закона, сохранения энергии в теории Максвелла. Из (1) и (2) следует, что

Члены, стоящие слева, с помощью хорошб известного векторного тождества можно выразить через дивергенцию векторного произведения Н и Е, т. е.

Из (26) и (27) получим

Умножив это равенство на проинтегрировав по произвольному объему и использовав теорему Гаусса, найдем

Здесь последний интеграл берется по границе объема, — единичный вектор внешней нормали.

Соотношение (29) непосредственно вытекает из уравнения Максвелла и поэтому выполняется независимо от справедливости материальных уравнений Как мы увидим, оно выражает закон сохранения энергии для

электромагнитного поля. Здесь мы рассмотрим его лишь для случая, когда удовлетворяются материальные уравнения (9)-(11). Позже (см. гл. 14) будет проведено обобщение этого закона для случая анизотропных сред, где материальные уравнения принимают более сложную форму.

Используя материальные уравнения, найдем

Полагая

и

преобразуем соотношение (29) к виду

Покажем, что величина представляет полную энергию, заключенную внутри объема, и, следовательно, можно отождествить с плотностью электрической энергии, а с плотностью магнитной энергии поля

Для отождествления с полной энергией, нужно доказать, что для замкнутой системы (т. е. системы, в которой можно пренебречь полем на граничной поверхности) изменение обусловливается работой, проделанной полем над материальными заряженными телами, входящими в систему. Достаточно показать это для медленного движения названных тел, причем мы вправе считать последние столь малыми, что можем рассматривать их как точечные заряды Обозначим скорость заряда через .

Сила, действующая со стороны поля на заряд, движущийся со скоростью V, определяется так называемым законом Лорентца

который основан на эксперименте. Отсюда следует, что если все заряды за время смещаются на то полная проделанная работа равна

так как Если число заряженных частиц велико, распределение заряда можно считать непрерывным. Введем плотность заряда (т. е. полный заряд единицы объема); тогда последнее равенство примет вид

причем интегрирование проводится по произвольному объему. В уравнениях Максвелла не содержится в явном виде скорость однако ее можно ввести, используя полученный Рентгеном [7] экспериментальный результат, согласно которому конвекционный ток (т. е. течение движущихся зарядов) создает такой же электромагнитный эффект, как и ток проводимости в проволоке. Следовательно, плотность тока фигурирующую в уравнениях Максвелла, можно разделить на две части

где плотность тока проводимости, плотность конвекционного тока. Тогда выражение (35) запишется в виде

Определим вектор и скаляр соотношениями

Теперь с помощью (35) и (36) найдем

где вторая функция, конечно, не является полной производной от функции координат и времени. Уравнение (33) примет теперь вид

Для непроводящей среды имеем . Будем также считать граничную поверхность расположенной так далеко, что можно пренебречь полем на ней, вызванным электромагнитными процессами, происходящими внутри нее. Тогда и интегрирование выражения (41) дает

Следовательно, для изолированной системы увеличение в единицу времени обусловливается работой, проделанной над системой в течение этого времени. Полученный результат подтверждает наше определение электромагнитной энергии выражением (32).

Член (он называется джоулевым теплом) представляет собой диссипацию энергии в проводнике (а Ф 0) из-за наличия сопротивления. Если поле достигает граничной поверхности, то, согласно (41), происходит дополнительное уменьшение энергии. Поэтому поверхностный интеграл должен определять поток энергии через эту граничную поверхность. Вектор известен как вектор Пойнтинга и представляет количество энергии, протекающее за одну секунду через единичную площадку, перпендикулярную к направлениям Е и Н.

Необходимо отметить, что интерпретация как потока энергии (точнее, как плотности этого потока) вносит известную степень произвола. Согласна (41) физическим смыслом обладает не сама величина а интеграл от взятый по замкнутой поверхности. Ясно, что из значения интеграла нельзя вывести однозначное заключение о детальном распределении поэтому возможны и другие определения плотности потока энергии. К S всегда можно прибавить ротор произвольного вектора, поскольку такой член не вносит вклада в поверхностный интеграл, что следует из теоремы Гаусса и тождества

Однако при осторожном применении этого определения, в частности для средних значений небольших, но конечных интервалов прострапава или времени, никакого противоречия с экспериментом не возникает. Поэтому мы примем приведенное, выше определение плотности потока энергии через вектор Пойнтинга.

Наконец, отметим, что в непроводящей среде в отсутствие механической работы закон сохранения энергии можно записать в форме гидродинамического уравнения непрерывности для несжимаемой жидкости, а именно

Гидродинамическая модель часто оказывается полезной при описании распространения света, в частности в геометрической оптике или при рассмотрении скалярных дифракционных полей, так как она дает картину распространения энергии в простой графической форме. В оптике наибольший интерес представляет усредненный вектор Пойнтинга. Величина его служит мерой интенсивности света, а направление указывает направление распространения света.