ПРИЛОЖЕНИЕ 6. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАЗРЫВОВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

В п. 3.1.1 отмечалось, что уравнение эйконала в геометрической оптике идентично уравнению, строго описывающему распространение разрывов электромагнитного поля. В более общем виде можно показать, что четыре уравнения (3.1.11а) — (3.1.14а), характеризующие поведение электромагнитного поля, создаваемого геометрическими световыми лучами, совпадают с уравнениями, связывающими векторы поля на движущейся поверхности разрыва. Цель настоящего приложения состоит в математическом доказательстве этой эквивалентности.

1. Соотношения, связывающие разрывы непрерывности векторов поля.

В п. 1.1.3 мы рассматривали разрывы векторов поля, возникающие из-за резкого изменения материальных параметров ей скажем, на поверхности линзы. Разрывы в нолях могут также возникать и но совершенно иным причинам, например вследствие того, что источник внезапно начнет излучать. Тогда поле распространяется в пространство, окружающее источник, и с течением времени заполняет большую и большую область. На границе этой области поле терпит разрыв, причем внутри области векторы поля в общем случае конечны, а вне ее они равны нулю. Установим сначала некоторые общие соотношения, справедливые на любой поверхности, на которой поле терпит разрыв. Предположим для простоты, что для любого момента времени существует только одна такая поверхность; обобщение на случай нескольких поверхностей разрыва (возникающих, например, при отражениях от препятствий, находящихся в среде) не представляет труда.

Пусть — произвольная поверхность, на которой по крайней мере один из векторов поля терпит разрыв. Если она фиксирована в пространстве, то конечно, не зависит от Точки по разные стороны от этой поверхности характеризуются неравенствами 0 и Пусть Е - вектор электрического поля, и пусть

Тогда Е можно записать в виде

где — единичная функция Хевисайда (см. уравнение (17) приложения 4),

С помощью (2) получим выражения для входящих в уравнения Максвелла. При дифференцировании суммы или произведения, содержащих разрывный множитель, применим обычные правила дифференцирования и соотношение (18) приложения 4

где — дельта-функция Дирака. Так, например, из (2) получим

Далее имеем

а из последних двух соотношений следует, что

где

Аналогичным образом находим

Токи и заряды можно представить в таком же виде, как и векторы поля, однако если материальные параметры терпят разрыв на поверхности то в этих выражениях могут появиться дополнительные члены, содержащие поверхностную плотность тока и поверхностную плотность заряда Вклады от этих величин описываются уравнениями (1.1.17а) и (1.1.18а), так что в результате мы получим

Подставим теперь соотношения (6), (8), (9), (10), (11) и аналогичные соотношения для других векторов поля в уравнения Максвелла (1.1.1) — (1.1.4). Члены с индексами (1) сокращаются так же, как и члены с индексом (2), поскольку по обе стороны от поверхности разрыва поля удовлетворяют уравнениям Максвелла. Оставшиеся члены дают следующие соотношения, связывающие разрывы векторов поля:

Интересно отметить, что эти уравнения получаются формально из уравнений Максвелла, если заменить векторы поля на разности , величины и на и и дифференциальные операторы на операторы

Пусть — единичный вектор, нормальный к поверхности разрыва и направленный из области (индекс 1) в область (индекс 2):

Введем также скорость с которой движется поверхность разрыва. Небольшому смещению из точки на поверхности разрыва до точки на соседней поверхности разрыва соответствует такое изменение времени , что

В частности, для смещения вдоль нормали так что скорость а дается выражением

Соотношения (12) — (15) можно записать тогда в виде

Если разрывы векторов полей возникают из-за резкого изменения величин материальных параметров на поверхности положение которой фиксировано в пространстве, то и соотношения (12а) — (15а) сводятся к уравнениям (25), (23), (19) и (15), приведенным в § 1.1.

2. Поле на движущейся поверхности разрыва.

Рассмотрим движущуюся поверхность разрыва, возникающую из-за присутствия источника, внезапно начинающего кзлучать. Представим эту поверхность в виде

где с — скорость света в вакууме. Векторы поля на поверхности разрыва мы будем обозначать маленькими буквами, т. е.

аналогичные выражения справедливы и для других векторов поля. Далее, в области за движущейся поверхностью (скажем, при поле равно нулю, так что, согласно (1) и (7), имеем Из материальных уравнений (1.1.10) и (1.1.11) следует, что и если положить то из (12) - (15) получим

Эти уравнения формально совпадают с основными уравнениями (3.1.11а) — (3.1.14а) геометрической оптики. Следовательно, векторы поля на движущейся поверхности разрыва подчиняются точно таким же уравнениям, как и гармонические по времени векторы поля в приближении геометрической оптики, причем движущейся поверхности разрыва соответствуют геометрические волновые фронты.

Очевидно, что движущаяся поверхность разрыва должна удовлетворять уравнению эйконала

где Это уравнение выводится так же, как и ранее. Оно служит условием совместности уравнений (21) и (22) и следует из них после исключения или и использования (23) или (24). Согласно (18), (19) и (25) поверхность разрыва движется со скоростью