1.5.2. Формулы Френеля.

Здесь мы рассмотрим амплитуды отраженной и преломленной волн. Предположим, что обе среды (однородные и изотропные) обладают нулевой проводимостью и, следовательно, совершенно прозрачны; их магнитные проницаемости фактически будут отличаться от единицы на пренебрежимо малые величины, и поэтому мы положим .

Пусть А — амплитуда электрического вектора поля падающей волны, будем считать ее комплексной величиной с фазой, равной постоянной части аргумента волновой функции. Переменная ее часть имеет вид

Разложим каждый вектор на компоненты — параллельную (снабдим ее индексом и перпендикулярную (индекс ) плоскости падения. Выбор положительных направлений для параллельных компонент указан на рис. 1.10. Перпендикулярные компоненты располагаются перпендикулярно к плоскости, рисунка.

Тогда компоненты электрического вектора поля падающей волны запишутся в виде

Компоненты магнитного вектора сразу же получаются из соотношения (1.4.4) (при )

Отсюда

Аналогично, если и — комплексные амплитуды прошедшей и отраженной волн, то соответствующие компоненты электрического и магнитного векторов равны следующим величинам.

Поле прошедшей волны

где

Поле отраженной волны

где

Граничные условия (1.1.23) и (1.1.25) требуют, чтобы на границе тангенциальные составляющие векторов Е и Н были непрерывны. Следовательно, должны выполняться соотношения

при этом условия для нормальных компонент В и и (1.1.19) будут удовлетворяться автоматически. Подставляя в (18) значения всех компонент и используя тот факт, что получим четыре соотношения

Заметим, что уравнения (19) делятся на две группы, одна из которых содержит лишь компоненты, параллельные плоскости падения, а другая — только компоненты, перпендикулярные ей. Следовательно, волны этик двух типов независимы друг от друга.

Можно решить уравнения (19) относительно компонент отраженной и прошедшей волн, выразив их через компоненты падающей волны. Вновь используя соотношение Максвелла , получим

Уравнения (20) и (21) называются формулами Френеля. Впервые они были выведены Френелем в несколько менее общем виде в 1823 г. на основе его теории, рассматривавшей свет как колебания упругой среды. Эти соотношения пишутся обычно в другой форме, которую можно получить из (20) и (21), используя закон преломления (8), а именно в форме

Так как вещественны (случай полного внутреннего отражения пока исключаем), то тригонометрические функции, стоящие в правой части уравнений (20а) и (21 а), также вещественны. Следовательно, фаза каждой компоненты отраженной и прошедшей волн либо равна фазе соответствующей компоненты падающей волны, либо отличается от нее на . Так как знаки совпадают со знаками фаза прошедшей волны равна фазе падающей. случае же ограженной волны фаза будет зависеть от относительных аначений . Если оптическая плотность второй среды больше, чем первой поэтому, согласно (21), знаки и различны и фазы отличаются друг от друга на . При тех же обстоятельствах значение положительно, но знаменатель становится отрицательным для и в этом случае фазы и отличаются друг от друга на Аналогичное рассмотрение можно провести для случая, когда вторая среда оптически менее плотна, чем первая. 1

Для нормального падения , следовательно, ; тогда соотношения (20) и (21) примут вид

где .