§ 4.3. Проективное преобразование (коллинеация) при наличии аксиальной симметрии

Выше было показано, что идеальное отображение трехмерных объектов друг в друга можно осуществить лишь с помощью проективного преобразования, поскольку последнее преобразует линии в линии Свонства проективных преобразований важны даже в тех случаях, когда условия, необходимые для достижения идеального отображения, выполнены не полностью, поскольку, как будет показано позднее, отображение предмета любой оптической системой осуществляется, по крайней мере в первом, приближении, с помощью преобразования такого рода. Поэтому, прежде чем выводить законы построения изображений в реальных оптических системах, полезно исследовав общие свойства проективных преобразований Хотя такое предварительное рассмотрение носит чисго геометрический характер, удобно по возможности сохранять оптическую терминологию.

4.3.1. Общие формулы.

Пусть — координаты точки Р в пространстве предмета и — координаты точки Р в пространстве изображения в одной и той же произвольно выбранной декартовой системе координат. Проективное преобразование этих двух областей друг в друга осуществляется с помощью следующих соотношений:

где

Две точки, координаты которых связаны соотношением (1), называются сопряженной парой.

Разрешая (1) относительно получим соотношения такого же типа, а именно

где

Из (1) следует, что изображение любой точки, лежащей в плоскости находится на бесконечности. Аналогично из (3) вытекает, что все точки предмет, изображения которых лежат в плоскости расположены на бесконечности. Плоскость называется фокальной плоскостью пространства предмета, а плоскость - фокальной плоскостью пространства изображения Лучи, параллельные в пространстве предмета, преобразуются в лучи, пересекающиеся в некоюрои точке, лежащей в фокальной плоскости Лучи же, выходящие из точки, расположенной в фокальной плоскости , преобразуются в пучок параллельных лучей В некоторых случаях обе фокальные плоскости находятся на бесконечности Преобразования такого рода называются аффинными или телескопическими При телескопических преобразованиях всегда так как конечным значением должны соответствовать конечные значения . Разумеется, это возможно лишь в том случае, если

Поскольку большинство оптических систем состоит из поверхностей вращения с общей осью (такие системы обычно называются центрированными), особую роль в оптике играет случай аксиальной симметрии. Тогда из симметрии системы следует, что изображение любой точки лежит в плоскости, проходящей через эту точку и ось симметрии; поэтому при изучении свойств соответствующих проективных преобразований можно ограничиться рассмотрением точек, лежащих в такой меридиональной плоскости. Пусть эта плоскость совпадает с плоскостью а ось направлена вдоль оси симметрии. Тогда точка в пространстве предмета преобразуется в точку в пространстве изображения, где

Из симметрии системы вытекает, что не меняется при замене у на —у. Это возможно только в том случае, если Далее ясно, что при замене у на —у координата у меняется на —у, откуда следуег, что Следовательно, 4) принимает вид

Эти уравнения содержат пять постоянных, однако важны только их отношения. Таким образом, проективные преобразования при наличии аксиальной симметрии характеризуются четырьмя параметрами.

Разрешая (5) относительно х и у, получим

Рис. 4.10. Кардинальные точки и плоскости оптической системы. — главные фокусы, — главные, или единичные, точки; — узловые точки; — фокальные плоскости; главные, или единичные, плоскости.

Из соотношений (5) и (6) вытекает, что фокальные плоскости описываются уравнениями следовательно, они пересекают ось под прямым углом в точках, координаты которых равны

Эти точки называются главными фокусами и обозначены на рис. 4.10 через и

Теперь каждое пространство (пространство предмета и пространство изображения) удобно отнести к своей системе координат, поместив их начала в главные фокусы, т. е. положив

Тогда выражение (5) принимает вид

Обозначим

В результате уравнения для преобразований запишутся в простой форме, а именно

Второе из этих уравнении, обычно называют уравнением Ньютона. Постоянная называется фокусным расстоянием в пространстве предмета, фокусным расстоянием в пространстве изображения.

Для фиксированных плоскостей предмета и изображения находим из (10)

Эта величина называется поперечным увеличением. Далее получим следующее выражение для продольного увеличения, не зависящее

Из (11) и (12) видно, что величины продольного и поперечного увеличения связаны соотношением

Поскольку величина поперечного увеличения зависит только от 2, но не от У, фигура, расположенная в плоскости, перпендикулярной к оси, преобразуется в фигуру, геометрически подобную исходной.

Поперечное увеличение равно единице, если Эти плоскости называются главными или единичными плоскостями, на рис. 4.10 и 4.11 они обозначены буквами 4.1 и 41. Точки их пересечения с осью и V называются главными или единичными точками.

Рис. 4.11. Графическое определение точки изображения

Пусть — расстояние от оси, на котором луч, выходящий из точки ( пересекает главную плоскость в пространстве предмета. Сопряженный луч пересекает другую главную плоскость на таком же расстоянии от оси: утлы у и у, которые составляют лучи с осью задаются соотношениями (см. рис. 4.10)

Отношение

называется угловым увеличением или коэффициентом сходимости. Эта величина не зависит и равна единице, если Точки на оси и определенные последними двумя равенствами, называются узловыми. Они являются сопряженными точками и характеризуются тем, что сопряженные лучи, проходящие через них, параллельны друг другу. Расстояние между узловыми точками равно расстоянию между главными точками. При узловые точки совпадают с главными. Фокусы, главные и узловые точки называются кардинальными точками данного преобразования.

Иногда оказывается удобным отсчитывать расстояния не от фокальных плоскостей, а от главных. В этом случае вместо и используют переменные

Уравнение Ньютона принимает тогда вид

Используя свойства фокальных точек и главных плоскостей, можно простым геометрическим построением найти точку , сопряженную данной точке Р. Через точку Р проводят дне прямые, одна из которых параллельна оси, а другая проходит через фокус (рис. 4.11). Пусть А и В — точки, в которых эти прямые пересекаются с главной плоскостью Тогда из свойств главных плоскостей следует, что точки А и В, сопряженные А и В, являются точками пересечения двух прямых, проведенных через А и В параллельно оси, с плоскостью . Далее, поскольку проходит через фокус прямая должна быть параллельна оси, а так как параллельна оси, должна проходить через другой фокус Следовательно, изображение Р находится на пересечении линий