11. Пример I. Оптика.
Проиллюстрируем теперь общую теорию несколькими примерами. В первом примере рассматриваются паикратчаншая линия в обычной геометрии и кратчайший ошичсский 
в геометрической оптике.
Геометрия Евклида основана на теореме Пифагора, согласно которой элемент длины 
связан со своими проекциями 
на оси прямоугольной системы координат соотношением
Тогда кратчайшие линии между двумя точками определяются из минимума вариационного интеграла
Геометрическую оптику можно построить с помощью обобщения этого интеграла, а именно с помощью принципа наикратчайшего оптического пути Ферма (см. п. 3.3.2), т. е.
где 
показатель преломления. Мы будем рассматривать только второй случай, так как соотношение (65) является частным случаем (66) при 
Имеем
Поскольку 
имеем
где 
компоненты единичного вектора 
касательного к кривой 
Закон преломления на поверхности разрыва 
можно, согласно (53), записать в виде
где 
произвольный элемент длины на поверхности. Из последнего соотношения следует, что векторы 
и нормаль к поверхности разрыва компланарны и что углы 
образованные 
с нормалью к поверхности соответственно, связаны соотношением
что согласуется с законом преломления (3.2.19).
Уравнения Эйлера (7), соответствующие (66), имеют вид
или
Третье уравнение Эйлера
является тождеством, так как оно следует из соотношения
Для получения (706) можно поступить следующим образом: сначала продифференцируем 
Затем умножим (71) на 
а продифференцированное уравнение на 
после чего сложим полученные выражения. И, наконец, используем (70а). Три скалярных дифференциальных уравнения (70) согласуются с векторным уравнением (3.2.2) для световых лучей.
Поскольку 
и 
характеризуют теперь компоненты лучевого вектора (см. 
из (12) следует, что функция 
соответствующая полю геометрической оптики, является точечной характеристикой Гамилыпона (см. 
Более того, с помощью процедуры, использовавшейся при выводе (21), можно показать, что уравнение Гамильтона—Якоби 
данной вариационной задачи совпааает с уравнением эйконала.
Для изучения условия Лежандра (60), необходимо найти производные 
В данном случае имеем
следовательно,
Таким образом, каждой экстремали соответствует слабый минимум (см. стр. 674), если выполняется условие Якоби (63). Однако, поскольку выпуклость функции 
для данных значений 
т. е. для данного 
направлена вниз при всех 
то из геометрического истолкования условия Вейерштрасса следует, что минимум является сильным.
Остается рассмотреть критерий Якоби. При 
т. е. в обычной евклидовой геометрии, экстремали, очевидно, имеют вид прямых. Так как пучок прямых, проходящих через точку 
не может иметь огибающую, то каждой прямой линии соответствует сильный минимум расстояния между любыми двумя точками на этой прямой. В геометрической же оптике, когда 
является в общем случае функцией 
(непрерывной или разрывной), пучок лучей из точки 
может иметь огибающую (каустическую поверхность). Поэтому при исследовании характера экстремума необходимо в каждом случае отдельно рассматривать такие поверхности.
