§ 4.9. Метод построения хода лучей

При конструировании оптических приборов траектории световых лучей нужно определять с гораздо большей точностью, чем та, которую дает параксиальная оптика. Для этого следует воспользоваться алгебраическим анализом, учитывающим в разложении характеристической функции члены более высокого порядка малости (см. гл. 5). Другой способ, позволяющий с помощью элементарной геометрии более точно определять траектории световых лучей состоит в последовательном применении закона преломления (или отражения); этот метод, который будет сейчас кратко изложен, называется методом построения хода лучей; он находит широкое применение на практике.

4.9.1. Наклонные меридиональные лучи.

Рассмотрим сначала ход наклонного меридионального луча, т. е. луча, выходящего из точки, не лежащей на оси. Пусть А — полюс первой поверхности системы. Предположим, что это преломляющая сферическая поверхность радиуса с центром в точке С, которая разделяем среды с показателями преломления Падающий луч (рис. 4.37), лежащий в меридиональной плоскости, характеризуется углом образованным им с осью, и расстоянием между полюсом А и точкой В, в которой данный луч пересекает ось. Пусть — угол между падающим лучом и нормалью Соответствующие величины, относящиеся к преломленному лучу, отмечены штрихами.

Здесь будет использоваться следующее правило знаков: величины считаются положительными, если С, В и В расположены справа от А (предполагается, что лучи падают слева). Углы и положительны, если можно совместить ось с лучами и путем ее поворота по часовой стрелке соответственно вокруг В и В на угол, меньший . Углы положительны, если можио совместить падающий и преломленный лучи с нормалью путем поворота по часовой стрелке вокруг точки падения Р на угол, меньший 90°.

Рис. 4.37. Обозначения, применяемые при построении хода наклонного меридионального Луча.

Предполагается, что величины и характеризующие падающий луч, заданы и нужно вычислить и Полагая также, что как так и конечны, из треугольника получим

Закон преломления дает

Из рисунка следует, что

И, наконец, из треугольника находим

Итак, последовательно применяя законы преломления (1) — (4), мы получили величины , характеризующие преломленный луч

Преломленный луч является падающим относительно второй поверхности. Если написать вместо вместо U и обозначить соответствующие величины через отсчитывается от полюса второй поверхности), то мы получим уравнения перехода

где расстояние между полюсами первой и второй поверхностей.

Подставим теперь величины (5) и (6) в уравнения (1) — (4). Решая эти уравнения относительно штрихованных величин, мы находим ход луча, прошедшего вторую поверхность. Многократно применяя законы преломления и уравнения перехода, мы получим значения величин и V, относящихся к лучу в пространстве изображения. После этого можно найти точку пересечения этого луча с плоскостью изображения. Практически, конечно, строят ход не одного, а нескольких, специально выбранных лучей; их точки пересечения с плоскостью изображения позволяют судить о работе данной системы.

Если одна из поверхностей (скажем, ) является зеркалом, то соответствующие формулы можно формально получить из уже выведенных, положив . Тогда величину следует считать отрицательной. Более того, все величины показателей преломления последующих сред и соответствующие значения также нужно считать отрицательными до места второго отражения, когда они снова становятся положительными,

Рассмотрим теперь два частных случая, которые мы исключали до сих пер. Если падающий луч параллелен оси системы то вместо уравнения (1) следует использовать соотношение

где — расстояние от луча до этой оси (рис. 4.38, а).

Рис. 4.38. Ход лучей в оптической системе. а - падение лучей параллельно оси , б — падение лучей на плоскую поверхность

В случае плоской поверхности вместо (1)-(4) мы имеем следующую систему уравнений (рис. 4.38, б):

Учитывая (9), уравнение (11) можно представить в виде

который удобнее (11) при расчетах, если углы малы.

Полезно определить также координаты точки падения на поверхность и расстояние между точками падения на соседние поверхности (рис. 4.39).

Рис. 4.39 Ход наклонного меридионального луча, проходящего через две соседние преломляющие поверхности.

Из рисунка видно, что

Выразив через , находим

Этим соотношением можно пользоваться для проверки величин, вычисленных с помощью (11а) или (11).

В частном случае, когда значение равно бесконечности, и соотношения (12)-(15) остаются справедливыми. Если то величину. можно вычислить из выражения

а равно нулю.