§ 8.2. Принцип Гюйгенса — Френеля

Согласно построению Гюйгенса (см. п. 3.3.3) каждую точку волнового фронта молено считать центром вторичного возмущения, которое вызывает элементарные сферические волны, а волновой фронт в любой более поздний мемеит времени — огибающей этих волн. Френель смог объяснить явление

дифракции, дополпив построение Гюйгенса утверждением, что вторичные волны интерферируют между собой. Это сочетание построения Гюйгенса с принципом интерференции называется принципом Гюйгенса—Френеля. Прежде чем применить его к изучению дифракционных эффектов, следует проверить (с некоторыми простыми дополнительными предположениями), правильно ли он описывает распространение света в вакууме.

Пусть (рис. 8.1) — мгновенное положение сферического монохроматического волнового фронта с радиусом распространяющегося от точечного источника допустим, что требуется определить световое возмущение в точке Р.

Рис. 8.1. Построение зон Френеля.

Возмущение в точке волнового фронта можно представить (с точностью до периодического по времени множителя в виде где А — амплитуда на расстоянии единицы длины от источника. В соответствии с принципом Гюйгенса — Френеля каждый элемент волнового фронта рассматривается как центр вторичных возмущений, которые распространяются в виде элементарных сферических волн; вклад в возмущенней , вносимый элементом находящимся в точке запишется в виде

где — коэффициент наклона, описывающий изменение амплитуды вторичных волн в зависимости от направления, — угол (часто называемый углом дифракции) между нормалью в точке и направлением . Следуя Френелю, предположим, что К. максимально в первоначальном направлении распространения света, т. е. при быстро уменьшается с увеличением и равно нулю, когда становится касательной к волновому фронту, когда наконец, предположим, что в точке Р сказывается влияние только той части первоначальной волны, которая не загораживается каким-либо препятствием, находящимся между и Р. Поэтому полное возмущение в точке Р равно

Для того чтобы вычислить (1), воспользуемся так называемыми зонами Френеля. Построим вокруг точки Р сферы с радиусами

где точка пересечения с волновым фронтом 5 (см. рис. 8.1). Сферы делят на целый ряд зон

Пусть и велики по сравнению с длиной волны; тогда можно предположить, что в любой зоне величина К постоянна и в зоне равна Из рисунка видно, что

Следовательно,

и, значит,

где — азимут. Следовательно, вклад зоны в равен

Так как последние два множителя сводятся к

и, следовательно,

Заметим, что вклады следующих друг за другом зон имеют разные знаки. Результирующий эффект в точке Р получается суммированием вкладов от всех зон, т. е.

Ряд

можно приближенно вычислить по методу Шустера 12].

Перепишем вначале (5) в виде

Последний член равен или в зависимости от того, нечетно или четно. Допустим теперь, что закон, определяющий изменение К с направлением таков, величина больше среднего арифметического соседних значений и Тогда каждый член в (6), заключенный в скобки, отрицателен и, значит,

Теперь перепишем (5) в виде

Последний член этого ряда равен — если нечетно, и

если оно четно. Следовательно,

Величина каждого лишь немного отличается от величин соседних и поэтому правые части соотношений (7) и (9) практически равны и приближенно можно считать, что

Легко проверить, что соотношения (10) остаются справедливыми, если каждое К, меньше среднего арифметического соседних членов, и тогда члены в (6) и (8), заключенные в скобках, отрицательны. Более того, можно ожидать, что (10) останется справедливым даже тогда, когда только часть членов в скобках отрицательна, а другая часть положительна. В этом случае ряд можно разделить на две части в зависимости от знаков членов в скобках, и к каждой такой части применить предыдущие рассуждения. Итак, мы приходим к заключению, что сумма ряда определяется выражениями (10), если члены в скобках в соотношениях (6) и (8) не меняют знак так часто, что неточности, складываясь, достигают значительной величины. Если исключить последний случай, то из (4) и (10) находим

здесь верхний знак берется при нечетном а нижний — при четном. Воспользовавшись (3), уравнение (11) можно переписать в виде

Для последней зоны видимой из становится касательной к волновому фронту, т. е. , как говорилось выше, для такого величина К, по предположению, равна нулю. Следовательно, и (11) сводится к выражению

показывающему, что полное возмущение в Р равняется половине возмущения, обусловленного действием первой зоны.

Соотношение (13) находится в согласии с выражением, описывающим действие сферической волны, если

т. е. если

Множитель можно объяснить, если предположить, что вторичные волны отстают по фазе на четверть периода от первичной волны. Присутствие множителя становится понятным, если допустить, что амплитуды вторичных и первичных волн относятся, как . Таким образом, мы приходим к заключению, что при этих допущениях относительно амплитуды и фазы вторичных волн принцип Гюйгенса—Френеля правильно описывает распространение сферических волн в свободном пространстве. Однако приведенные выше дополнительные предположения нужно рассматривать просто как удобный способ интерпретации математических выражений; иными словами, они

не имеют какого-либо физического смысла. Истолкование множителя (14) станет очевидным позднее (см. § 8.3).

Следуя и дальше Френелю, закроем несколько зон плоским экраном, перпендикулярным к с круглым отверстием, центр которого находится на этой линии, и рассмотрим действие оставшихся зон в точке Р. Теперь следует считать, что суммарное возмущение в Р обусловлено только волнами от незакрытых зон. Если экран оставляет открытой только половину первой зоны, то из (3), полагая и умножая на 1/2, получим

Следовательно, возмущение в Р оказывается таким же, как и в отсутствие экрана. Если закрыты все зоны, кроме первой, то из (3) находим

и интенсивность в четыре раза больше, чем в отсутствие экрана. При дальнейшем увеличении отверстия интенсивность уменьшится, так как первые два члена в (4) имеют разные знаки. Больше того, почти одинаковы, и, следовательно, если отверстие приблизительно равно двум первым зонам, то в точке Р будет почти полная темнота. Поэтому при изменении размеров отверстия наблюдается периодическое изменение интенсивности в Р. Такой же результат получается и тогда, когда размеры отверстия и источника остаются постоянными, а точка наблюдения Р перемещается вдоль оси. В этом случае при постепенном приближении точки Р к экрану увеличивается число открывающихся зон.

Все полученные выше результаты находятся в хорошем согласии с экспериментом. Одно из предсказаний теории Френеля произвело сильное впечатление на его современников и фактически положило конец долгому спору между сторонниками корпускулярной и волновой теорий света. Этот спор был решен в пользу волновой теории. Речь идет о явлении, наблюдаемом при закрытии первой зоны маленьким круглым диском, помещенным под прямым углом к прямой Согласно (5) комплексная амплитуда в Р равняется

Так же, как и раньше, получим, что сумма ряда в скобках равна — Выше мы предположили, что только немного отличается от , следовательно, в геометрической тени диска интенсивность света будет такой же как и в отсутствие диска.