4.7.2. Дисперсия призмы.

Рассмотрим теперь кратко прохождение света через призму.

Пусть а — угол между двумя рабочими гранями призмы. Предположим, что ребро А, вдоль которого пересекаются эти грани, перпендикулярно к плоскости, в которой лежат падающий, преломленный и вышедший лучи (рис. 4.27), Вначале будем считать свет строго монохроматическим.

Рис. 4.27. Прохождение луча через призму.

Пусть — точки пересечения падающего и вышедшего лучей с гранями призмы, углы падения и преломления в точке внутренний и внешний углы в точке В, (т. е. углы, которые образуют луч и вышедший луч с нормалью в точке ). Далее, пусть С — точка пересечения нормалей к граням призмы в - точка, в которой пересекаются продолжения падающего и вышедшего лучей.

Если обозначить через угол отклонения, е. угол между вышедшим и падающим лучами, то

Из закона преломления находим

где показатель преломления стекла относительно окружающего воздуха. Угол отклонения экстремален, если

С учетом (12) это условие принимает вид

Тогда из (13) и (14) найдем

или после преобразований.

Как следует из (16) и (18), в случае экстремума имеем

или, возводя (19) в квадрат и используя (14), получим

Это уравнение удовлетворяется, если

Чтобы определить характер экстремума, надо исследовать . Из (12) и (18) имеем

При это выражение с учетом (14), (16) и (17) принимает вид

Так как то кроме того, поскольку , то . Следовательно, , т. е. отклонение минимально. Из (21) следует, что при таком отклонении лучи проходят через призму симметрично. Величина угла наименьшего отклонения, равна

Углы падения и преломления на первой грани призмы можно выразить через емин и а в виде

откуда

Последняя формула часто используется при определении показателя преломления стекла. С помощью спектрометра измеряют значения , а затем по формуле (26) вычисляют величину

Рассмотрим теперь прохождение через призму пучка параллельных лучей, выходящих, например, из точечного источника Р, расположенного в фокальной плоскости линзы (рис. 4.28); свет по-прежнему считается монохроматическим. Пусть — основания перпендикуляров, опущенных из точек на лучи, которые проходят через ребро А. Тогда являются линиями пересечения двух волновых фронтов с плоскостью падения (плоскостью чертежа). Эти две линии образуют между собой угол, равный углу отклонения . Положим

Рис. 4.28. Схема, иллюстрирующая дисперсию призмы

Рассмотрим теперь параллельный пучок немонохроматического света. Если линза исправлена на хроматическую аберрацию, то останется на волновом фронте падающего пучка. С другой стороны, линия уже не будет единственной; ее положение будет зависеть от длины волиы X, поскольку показатель преломления призмы зависит от длины волны, т. е.

а следовательно, угол отклонения к тоже зависит от Я:

Величину

соответствующую постоянному значению угла падения часто называют угловой дисперсией призмы. Первый сомножитель в правой части (30) зависит только от геометрии системы, а второй характеризует относительную дисперсию

стекла, из которого изготовлена призма. Поскольку , то из (12) и (13) находим

а из (14) -

после преобразований имеем 1

Из треугольника получим на основании теоремы синусов

а из треугольника

Используя последние три соотношения, можно представить (30) в виде

Из симметрии следует, что в положении минимума отклонения Если, кроме того, линзы настолько велики, что пучок полностью заполняет призму, то величина будет равна длине основания призмы. В этом случае из (36) получаем следующее выражение для угловой дисперсии , т. е. для угла между волновыми фронтами, относящимися к длинам волн