2.4.2. Теорема погашения Эвальда — Озеена и строгий вывод формулы Лорентц — Лоренца.

Уравнение (4) связывает довольно сложным образом эффективное электрическое поле с электрическим полем падающей волны. Это уравнение решается в явном виде лишь в специальных случаях. Тем не менее из него можно получить ряд основных результатов, таких, как формула Лорентц—Лоренца, законы преломления и отражения и формулы Френеля. Перед тем как показать это, выведем одно важное общее следствие решения.

Пусть 2 обозначает границу рассматриваемой среды. Для точек наблюдения, находящихся внутри среды, основное уравнение (4) можно записать в виде

где вклад от диполей, равный

Здесь мы явно указали границу объема, по которому проводится интегрирование.

Будем считать, что поле создается падающей монохроматической волной с угловой частотой , т. е.

В качестве пробного решения для Р выберем волну, которая также монохроматична и имеет ту же частоту, но обладает другой скоростью распространения (скажем, )

где, как и раньше, и

Постоянный множитель в (9) введен для упрощения последующих формул. Постоянную следует рассматривать как неизвестную величину, причем ее определение является одной из главных задач настоящего анализа. Предположим также, что внутри среды

На первый взгляд возможность решения осповного интегро-дифференциального уравнения (6) в форме нашего пробного решения может показаться до некоторой степени странной, так как представляет волну, распространяющуюся со скоростью света в вакууме с, тогда как Р, по предположению, распространяется со скоростью Однако будет показано, что поле диполей можно выразить в виде суммы двух членов, один из которых удовлетворяет волновому уравнению в вакууме и в точности гасит падающую волну, тогда как другой удовлетворяет волновому уравнению для распространения со скоростью . Поэтому можно считать, что падающая волна гасится в любой точке внутри среды в результате интерференции создаваемого ею поля с полем диполей; при этом появляется новая волна с иной скоростью распространения (а в общем случае и с иным направлением распространения). Найденный результат известен как теорема погашения; он был установлен вначале для кристаллических сред Эвальдом [24) и для изотропных сред Озееном [17].

Чтобы доказать теорему погашения, перепишем (6) в форме, не зависящей от времени

где

и

В приложении показано, что если радиус сферы а достаточно мал, то

Здесь функция представляет сферическую волну в вакууми поэтому удовлетворяет волновому уравнению

Таким образом, из уравнений (10) и (16) следует, что член, стоящий под знаком интеграла в правой части (15), можно записать в виде

При интегрировании с помощью теоремы Грина это дает

где символ означает дифференцирование вдоль внешней нормали к границе . Прямой расчет показывает (см, п. 8.3.1), что предел поверхностного

интеграла по о при равен , следовательно,

В пределе из (13), (15) и (19) получим

Используем далее тождество

Первый члей в правой части исчезает из-за условия (11), а второй, согласно (10), равен Следовательно, при подстановке их в (20) окончательно получим следующее выражение для поля диполей:

Согласно (10) первый член в правой части представляет волну, распространяющуюся со скоростью тогда как второй — волну, которая, подобно распространяется со скоростью света в вакууме с. Следовательно, как мы и ожидали, основное уравнение (12) разделяется на две группы членов, каждая из которых представляет волну, распространяющуюся со своей скоростью. Это возможно, только если каждая группа в нем равна нулю, и, следовательно,

и

Соотношение (23) выражает погашение падающей волны

в любой точке внутри среды, возникающее вследствие интерференции с частью поля диполей. Падающая волна заменяется другой, а именно волной вида

которая распространяется внутри среды со скоростью Величина выражается в (22) через концентрацию и поляризуемость а. В этом выражении мы узнаем формулу Лорентц — Лоренца, введенную предварительно в Нужно отметить, что погашение падающей волны осуществляется исключительно диполями, расположенными на границе среды, а поляризация Р возникает только вследствие взаимодействия соседних диполей.

В принципе общее решение интегро-дифференциального уравнения (23) можно получить, приведя его к системе двух связанных интегральных уравнений Фредгольма для и на поверхности. Тогда величину в любой точке внутри среды можно получить, решая уравнение (10) при условии, что принимает указанные значения на границе. Это нетрудно сделать обычными методами, используя функции Грина или интегральную формулу Гельмгольца — Кирхгофа (см, уравнение (8.3.7))

Мы должны теперь связать эффективное поле Е с обычным полем Е теории Максвелла. Для этого запишем два определения электрического смещения а именно

и

Исключая из них найдем

Теперь из (3) и (22) получим

и, следовательно, используя (26), имеем

что согласуется с (2.3.12). Наконец, из (26) и (9) следует, что поле Е внутри среды задается формулой

Для нахождения электрического поля вне среды мы должны вернуться к уравнению (4). Интегралы, входящие в уравнения (4) и (5), теперь берутся по всей среде, так что оператор можно вынести из-под знака соответствующего интеграла. Далее, так как вне среды то , следовательно, согласно (27), мы формально получим Вместо (6) теперь мы находим

Для рассматриваемого здесь случая гармонической зависимости от времени получим, подставляя сюда выражение (9) и используя (17) и теорему Грина, соотношение

a Q — та же функция на поверхности , что и раньше.

До сих пор мы занимались только электрическим полем. Для нахождения магнитного поля нужно лишь подставить Е в и взять интеграл. Это можно сделать методом, аналогичным приведенному выше, но такая операция сейчас несколько проще, так как оператор rot в (5) можно вынести из-под знака интеграла, что следует из результатов, изложенных в приложении 5. При сравнении получающихся выражений для Н и для Е мы увидим, что найденные решения согласуются с уравнениями Максвелла. Мы не будем приводить здесь эти расчеты, поскольку они довольно просты и не вносят каких-либо важных новых особенностей.

Чрезвычайно интересно отметить, что подход, основанный на физическом соображении о том, что поле в среде более естественно характеризовать поляризацией, чем вектором смещения, очень изящно, через интегродифференциальное уравнение (4), приводит к строгому выводу формулы Лорентц—Лоренца и теоремы погашения. Этот мощный метод до сих пор слабо использовался при

рассмотрении более частных проблем пример его применения будет дан в гл. 13.