8.5.3. Отверстия другой фомы.

Дифракцию Фраунгофера на отверстиях другой формы можно изучать аналогичным образом. Вычисления значительно упрощается, если можно выбрать такие криволинейные координаты, чтобы одна из координатных осей совпадала с краем отверстия Мы не собираемся подробно рассматривать здесь другие случаи дифракции, но выведем полезную теорему, касающуюся видоизменения дифракционной картины при симметричном расширении (или сжатии) отверстия в каком-нибудь одном направлении и, кроме того, рассмотрим дифракцию Фраунгофера на экране с большим числом отверстий одинакового размера и формы — два отверстия, причем в некотором направлении размеры раз больше, чем Для дифракции Фраунгофера на имеем

Аналогично для дифракции Фраунгофера на находим

Заменяя здесь переменные интегрирования на где

получим

Отсюда следует, что если отверстие симметрично расширяется в каком-либо направлении в раз, то дифракционная картина Фраунгофера сжимается в том же направлении в раз, а интенсивность в некоторой лючке новой картины становится в раз больше интенсивности в соответствующей точке первоначальной картины. Используя этот результат, можно, например, сразу найти картину дифракции Фраунгофера от эллиптического отверстия или отверстия в виде параллелограмма соответственно из картины дифракции от круга или прямоугольника. На рис. 8.14 показан случай дифракции на эллиптическом отверстии.

Рис. 8.14. Сравнение дифракции Фраунгофера на круглом и эллиптическом отверстиях.

Рассмотрим теперь важный случай экрана, состоящего из большого числа одинаковых и одинаково ориентированных отверстий (согласно принципу Бабине найденный результат будет также применим к дополнительному расположению препятствий). Пусть — ряд точек, одинаково расположенных по одной в каждом отверстии, и пусть их координаты относительно фиксированных осей, находящихся в плоскости отверстия, равны Тогда распределение света в дифракционной картине Фраунгофера можно записать в виде

где интегрирование ведется по любому отверстию А из их совокупности. Интеграл выражает действие одиночного отверстия, тогда как сумма — суперпозицию когерентных дифракционных картин. Если распределение интенсивности, обусловленное дифракцией на одиночном отверстии, то, согласно (23), полная интенсивность равна

Простейший случай с двумя отверстиями рассмотрен в § 7.2 в связи с теорией интерференции. Но там мы пренебрегали зависимостью от (т. е. влиянием дифракции на каждом отверстии) и рассматривали только эффект суперпозиции. Легко показать, что прежний результат (7.2.17) находится в согласии с соотношением (24). При оно сводится к

где

Рассмотрим теперь действие большого числа отверстий. Покажем, что результаты окажутся совершенно разными в зависимости от того, правильно ли распределены отверстия по экрану или беспорядочно.

При беспорядочном расположении отверстий члены с в двойной сумме быстро меняются в интервале от до —1 по мере того, как р и q принимают различные значения, и сумма таких членов не достигает конечного среднего значения.

Каждый член с равен единице. Поэтому, если исключить локальные флуктуации полная интенсивность в раз больше интенсивности света, дифрагировавшего на одном отверстии, т. е.

Дифракционные эффекты такого рода или чаще встречающиеся дополнительные эффекты (в смысле принципа Бабине) легко наблюдаются, если, напри мер, стеклянную пластинку, посыпанную порошком ликоподия или другим порошком с частицами одинакового размера и формы, осветить пучком света от удаленного источника. Кусок тонкой фольги, проколотый в случайно выбранных местах булавкой, также действует как дифракционный экран рассмотренного выше типа.

Рис. 8.15. (см. скан) Картины дифракции Фраунгофера от 56 одинаковых и одинаково ориентированных отверстий в плоском экране (по Липсону, Тейлору и Томпсону) а - беспорядочная ориентировка б — упорядоченная ориентировка Форма и ориентировка отверстий показаны в нижней части рисунка Освещение желтой линией ртути

Совершенно иной результат получается при регулярном расположении отверстий. Тогда при некоторых значениях и члены с могут внести заметный вклад в интенсивность. Например, если точки расположены так, что при определенных значениях фазы всех членов с кратны точно то их сумма равна и при больших становится порядка Такое большое увеличение интенсивности в некоторых направлениях, ясно видимое на рис. 8.15, имеет, как мы увидим ниже, важное практическое значение.