§ 4.2. Идеальное отображение

Рассмотрим распространение света от точечного источника, расположенного в точке в среде с показателем преломления Из выходит бесконечное число лучей, но, вообще говоря, через любую другую точку среды проходит конечное их число Однако в некоторых частных случаях удается найти такую точку через которою тоже проходит бесконечное количество лучей . Эта точка называется стигматическим (или резким) изображением

Идеальный оптический прибор дает для каждой точки трехмерной области, называемой пространством предмета, стигматическое изображение Совокупность точек изображений опредетяет пространство изображения Соответствующие точки в этих двух областях называются сопряженными В общем случае не все лучи, выходящие из достигнут пространства изображения, например, некоторые лучи задержатся тшафрагмои прибора оворят, что лучи, адегигающие пространства изображении, лежат в поле прибора. Если описывает в пространстве предмета кривую то Р, описывает сопряженною кривую Обе кривые не обязате тьно геометрически подобны другу Если кижоая кривая в пространстве предмета геометрически подобьа своему изображению, то говорят, что эти области идеально отображают друг друга Таким же образом можно опредетить идеальное отображение и для поверхностен

Оптические приборы, тающие идеальные изображения в указанном смысле, представляют значите шиый интерес, поэтому мы сформулируем некоторые общие теоремы, относящиеся к идеальном), или по крайней мере резкому, отображению трехмерных предметов В п. 4.2.3 будут кратко изложены некоторые результаты исследования резкого отображения двумерных предметов (поверхностей)

4.2.1. Общие теоремы.

Оптическая система дающая стигматическое изображение трехмерного предмета, часто называется абсолютным прибором Будет показано, что абсолютном приборе оптическая длина любой кривой, лежащей в пространстве изображения, равна оптической длине своего изображения. Впервые эта теорема быта сформулироваиа в 1858 г. Максвеллом [9, 10] для частного случая, когда и пространство предмета, и пространство изображения однородны Позднее Брунс [11], Клейн [5, 12] (см также [13]) и Либман [14] дали более строгое доказательство

Рис. 4.6 Абсолютный оптический прибор.

Как было потом показано Каратеодори [16], эта теорема оказывается справедливой не только для однородной, но и для неоднородной анизотропной среды. При доказательстве ее мы используем метод Каратеодори, однако ограни чимся рассмотрением абсолютных приборов с изотропными (но в общем случае неоднородными) пространствами предмета и изображения.

Пусть — отрезки луча в пространстве предмета и в пространстве изображения (рис. 4 b), находящегося в поле абсолютного прибора Любой другой луч, линеиньш элемент которого не отклоняется существенно от элемента ни но абсолютной величине, ни по направлению, также лежит в поле этого прибора

Если каждый элемент кривой (которая, как предполагается, имеет непрерывно поворачивающуюся касательную) совпадает с элементом некоторого луча, полностью лежащего в поле прибора то говорят, что эта кривая расположена в поле тангенциально Если заменить ее ломаной с достаточным числом отрезков, то каждый ее отрезок будет совпадать с элементом луча, полностью лежащим в поле прибора

Согласноно принципу равного оптического пути (см. п. 3.3.3) все лучи, соединяющие точку с ее изображением имеют одинаковую оптическую длину.

Обозначим ее через и покажем, что фактически она не зависит от

Пусть Во и другая пара сопряженных точек. Тогда (см. рис. 4.6)

Пусть — кривая, соединяющая и лежащая тангенциально в поле прибора, а С — ее изображение. Заменим чоманои и обозначим изображения точек через и Применяя (1) к отрезку ломаной получим

и аналогично для других отрезков

Следовательно,

Очевидно, что этот результат можно обобщить на случай ломаной с любым числом отрезков . Переходя к пределу при так, чтобы длина наибольшего отрезка стремилась к нулю, получим соотношение

где

являются оптическими длинами кривых Покажем теперь, что

Точки на кривых находятся во взаимно однозначном соответствии, что можно выразить следующими соотношениями:

Элемент кривой является функцией соответствующего элемента

Следовательно,

где

— однородная функция первой степени по производным более того, не меняется при замене на — . Далее из имеем

аналогичные соотношения получаются для и Следовательно, используя (7) и (4), получим для следующее выражение:

где Ф — также однородная функция первой степени более того, Ф не меняется при замене на , т. е.

Из (2), (6) и (8) имеем

это свидетельствует о том, что величина криволинейного интеграла в (10) зависит только от положения крайних точек и не зависит от выбора кривой . Кривая Со, однако, не является совершенно произвольной, поскольку она должна лежать тангенциально в поле прибора. Тем не менее мы вправе заключшь, чго выражение есть полный дифференциал от некоторой функции , т. е.

Если заменить здесь производные на то правая часть изменит знак, а левая, согласно (9), не изменит, что возможно только в том случае, если и левая и правая части этого выражения равны нулю следовательно,

Тогда из соотношения (10) вытекает, что и выражение (2) принимает вид . Следовательно, для любой кривой, имеющей изображение, независимо от того, лежит она в поле прибора тангенциально или нет, справедливо соотношение

Рис. 4.7. К доказательству Ленца теоремы Максвелла для абсолютного прибора.

Это и есть теорема Максвелла для абсолютного прибора.

Ленц [18] дал следующее менее общее, но чрезвычайно простое и изящное токазатсльство теоремы Максвелла Пусть все лучи о каждой точки предмета доетшпют изображения, и пусть — две пары сопряженных точек Согласно предположению должен проитн через Луч тоже должен пройти через эти точки Следовательно, каждый луч должен представлять замкнутую кривую тогда в соответствии с принципом равного оптического пути получим (рис. 4.7)

и

Если ввести обозначения

то написанные выше соотношения принимают вид

откуда следует, что

Приведенное здесь доказательство справедливо лишь в том случае, когда кривая является частью луча Его можно обобщить на случаи произвольной кривой таким же способом, как это было сделано нами ранге, т. е. заменить кривую многоугольником, стороны которого состоят из отрезков лучей, а затем устремить число этих сторон к бесконечности.

Из теоремы Максвелла сразу же вытекает несколько интересных следствий. Рассмотрим небольшой треугольник со сторонами и пусть — стороны треугольника, являющегося изображением исходного в абсолютном приборе. Далее, пусть показатели преломления областей, в которых расположены выбранные треугольники. Согласно теореме Максвелла

и, следовательно, эти треугольники подобны, а отношения соответствующих сторон обратно пропорциональны величинам показателен преломления. Поэтому углы между любыми двумя кривыми в предмете не изменяются в его изображении, т. такое отображение должно бьпь конформным. Из общей теоремы Лиунилля например, [19]) следует, что конформным отображением трехмерной области в трехмерную область может быть только проективное преобразование (коллинеация), инверсия или их комбинация. Таким образом, мы доказали следующую теорему, впервые сформулированную Каратеодори. Отображении, создаваемое абсолютным прибором, пвгяется либо проективным преобразованием, либо инверсией, либо их комбинацией

Рассмотрим теперь вкратце случай, когда отображение не только стигматично, но и идеально, т. е. любой объект преобразуется в объект, геометрически подобный исходному Ясно, что гакое отображение должно быть проективным преобразованием, поскольку опо преобразует линии в линии [20] Тогда из (13) следует, что увеличение для любых двух сопряженных линейных элементов равно отношению показателей преломления . В частности если - то таким образом, идеальное отображение двух однородных областей с одинаковыми показателями преломления друг в друга всегда тривиально в том смысле, что изображение полностью конгруэнтно предмету Единственным известным прибором, обеспечивающим такое отображение, является плоское зеркало (или комбинация плоских зеркал).

Из этих общих рассуждений следует, что для получения нетривиального отображения однородных областей с одинаковыми показателями преломления друг в друга нельзя требовать строгого стигматизма или полного подобия изображения объекту.