ГЛАВА 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

§ 4.1. Характеристические функции Гамильтона

В § 3.1 было показано, что в приближении геометрической оптики поле можно охарактеризовать одной скалярной функцией Поскольку удовлетворяет уравнению эйконала (3.1.15), эта функция полностью определяется величиной показателя преломления и соответствующими граничными условиями.

Часто вместо функции используют тесно связанные с ней функции, называемые характеристическими функциями средьт. Они были введены в оптику Гамильтоном в серии его классических статей [1]. Несмотря на то, что вследствие существенных алгебраических трудностей характеристические функции можно вычислить в явном виде лишь для самых простых сред, методы Гамильтона являются мощным средством для систематических аналитических исследований общих свойств оптических систем.

Рис. 4.1. К определению точечной характеристики.

При обсуждении свойств этих функций и их приложений мы будем предполагать, что рассматриваемая среда изотропна, но, вообще говоря, неоднородна.

4.1.1. Точечная характеристика.

Пусть — соответственно координаты двух точек в двух различных прямоугольных координатных системах, оси которых параллельны друг другу (рис. 4.1). Если соединить эти точки всеми возможными кривыми, то в общем случае некоторые из них окажутся оптическими лучами, удовлетворяющими принципу Ферма. Предположим вначале, что две произвольные точки соединяются только одним лучом. Тогда характеристическая функция V, или точечная характеристика, определяется как оптическая длина луча между двумя точками, рассматриваемая как функция их координат, т. е.

Необходимо подчеркнуть, что эта функция определяется свойствами среды

Из выражения (1) и соотношения (3.1.26) следует, что

где функция связана с любым пучком лучей, к которому принадлежит световой луч, соединяющий точки (например, с пучком, испускаемым точечным источником в ). Тогда на основании (3 1 24) получим следующие соотношения для направленных вдоль луча единичных векторов в точках

здесь индексы 0 и 1 указывают, что оператор действует соответственно на координаты

Вектор

иногда называют лучевым вектором. Пусть — углы, образованные лучевым вектором с координатными осями; тогда его проекции на оси

называются лучевыми компонентами. Учитывая тождество

мы видим, что они удовлетворяют следующему соотношению:

Согласно (3) лучевые компоненты в точках определяются выражениями

аналогичные соотношения справедлива для Отсюда следует, что, зная точечную характеристику, можно сразу же определить компоненты луча, соединяющего две произвольные точки в среде. Далее из (6) и (7) вытекает, что точечная характеристика удовлетворяет уравнению эйконала, записанному как в координатах так и в координатах т. е.

Часто вместо точечной характеристики удобно использовать другие, занные с ней функции (также введенные Гамильтоном), которые называются смешанной и угловой характеристиками. Их можно получить из точечной характеристики с помощью преобразований Лежандра, и они оказываются особенно полезными, когда или или обе эти точки находятся в бесконечности.