§ 5.4. Теорема сложения для случая первичных аберраций

Продемонстрировав важность первичных аберраций, мы должны приступить к решению гораздо более трудной задачи, состоящей в вычислении коэффициентов первичных аберраций для случая произвольной центрированной системы. Как было показано, это эквивалентно определению членов четвертого порядка в разложении возмущенного эйконала Шварцшильда. Чтобы не прерывать основных вычислений, удобно вначале рассмотреть зависимость возмущенного эйконала системы от возмущенных эйконалов, связанных с отдельными поверхностями системы.

Рассмотрим центрированную систему, состоящую из двух поверхностей вращения, и пусть осевая точка предмета, а параксиальные изображения, создаваемые соответственно первой и обеими поверхностями. Пусть далее

— угловая характеристика для преломления первой поверхностью, а

— угловая характеристика для преломления второй поверхностью, причем рассматривается относительно координатных систем с началами в относительно координатных систем с началами в оси X и Y этих систем взаимно параллельны, а оси направлены вдоль оси системы. Поскольку среда считается однородной, угловая характеристика представляет собой оптическую длину пути между основаниями перпендикуляров, опущенных из обоих начал координат на начальный и конечный отрезки луча (см. рис. 4.3). Следовательно, угловая характеристика системы Т, отнесенная к системам с началами в равна сумме , т. е.

Переменные в этом выражении, относящиеся к лучу в промежуточном пространстве, нужно исключить, пользуясь формулами, которые описывают отображения каждой из поверхностей. Это удобно сделать в явном виде в соответствующих выражениях для возмущенного эйконала.

Согласно (5.2.13), возмущенные эйконалы и имеют вид

и

а возмущенный эйконал системы — вид

Следовательно, на основании (3) имеем

или, используя (5.2.17),

Подставив в (4) разложения в стейенные ряды величин получим (напомним, что, согласно (5.3.1), члены второго порядка отсутствуют)

где точки означают члены шестого и более высокого порядков. Очевидно, что в выражениях для и мы имеем право заменить аргументы их гауссовыми значениями. Таким образом, переменные, относящиеся к промежуточному пространству, можно исключить с помощью следующего правила: заменить на на и полученные выражения сложить. В результате получим как функцию четырех переменных что и требовалось. Проведем теперь это исключение более подробно.

Согласно и имеют вид

Заменяя на

находим после сложения

Сходный результат, конечно, получится и для произвольной центрированной системы, состоящей из любого числа поверхностей. Таким образом, мы доказали следующую теорему.

Каждый коэффициент первичной аберрации для любой центрированной системы равен сумме соответствующих коэффициентов для отдельных ее поверхностей.

Именно здесь особенно отчетливо видна практическая полезность переменных Зайделя, поскольку этот простой, но важный результат можно получить при использовании указанных переменных и он не имеет аналога для обычных переменных,