Заменим поверхность резкого раздела Т тонким, переходным слоем, внутри которого 
и быстро, но непрерывно меняются от значений около Т с одной стороны слоя до их значений вблизи Т с другой его стороны. Внутри этого слоя построим небольшой квазипилиндр, ограниченный с боков «частоколом» нормалей к Т. Основаниями цилиндра на каждой стороне Т служат небольшие площадки 
параллельные поверхности Т (рис. 1.1). Поскольку во всем цилиндре вектор В и его производные непрерывны, мы можем применить теорему Гаусса к интегралу от 
, взятому по объему цилиндра. Тогда, согласно (4), получим
Здесь 
— единичный вектор внешней нормали; второй интеграл берется по поверхности цилиндра.
Так как площадки 
предполагаются малыми, можно считать, что на них В принимает постоянные значения 
Тогда выражение (12) можно заменить следующим;
Рис. 1.1. К выводу граничных условий для нормальные компонент В и 
Если высота цилиндра 
стремится к нулю, переходный слой переходит в поверхность, а вклад от стенок цилиндра исчезает при условии, что отсутствует поверхностный ноток магнитной индукции. Такой поток никогда не наблюдается и, следовательно, в пределе
где 
— площадь пересечения нашего цилиндра с поверхностью Т. Если 
единичный вектор нормали, направленный из первой среды во вторую, то 
и из соотношения (14) получим
т. е. нормальная компонента вектора магнитной индукции непрерывна на поверхности раздела.
Подобным же образом можно рассмотреть электрическое смещение 
но в этом случае при наличии зарядов появится дополнительный член. Вместо (12) мы получим из (3)
При слиянии площадок 
полный заряд остается конечным и, следовательно, объемная плотность становится бесконечной. При этом вместо объемной плотности заряда 
необходимо ввести поверхностную плотность заряда 
определяемую соотношением
Позже нам понадобится также понятие поверхностной плотности тот 
которая определяется аналогичным образом, а именно
Если площадку 
и высоту 
выбрать достаточно малыми, то из (16) получим
Вклад от стенок стремится к нулю с уменьшением 
и поэтому в пределе при О получим
т. е. при наличии на поверхности раздела слоя с поверхностной плотностью заряда 
нормальная компонента вектора электрического смещения при переходе через эту поверхность испытывает скачок, равный 
Исследуем теперь поведение тангенциальных компонент. Заменим поверхность резкого раздела переходным слоем, а цилиндр, показанный на рис. 1.1, «прямоугольной» площадкой, стороны которой параллельны и перпендикулярны поверхности Т (рис. 1,2),
Рис. 1.2. К выводу граничных условий для тангенциальных компонент Е и Н.
Пусть 
— единичный вектор, перпендикулярный плоскости рассматриваемого прямоугольника. Тогда на основании теоремы Стокса получим из (2)
здесь первый и третий интегралы берутся по площади прямоугольника, а второй — вдоль его границ. Если длины 
малы, то на каждой из этих сторон вектор Е можно заменить постоянными значениями 
Подобным же образом постоянным значением можно заменить и вектор В. Тогда из (20) найдем
где 
— линейный элемент, по которому прямоугольник пересекается с поверхностью раздела. Если теперь постепенно уменьшать высоту прямоугольника, то вклад от концов 
будет стремиться к нулю при условии, что Е в пределе не имеет достаточно резких особенностей. Такую возможность мы исключим. Предположим также, что остается конечным и В; тогда в пределе при 
получим
Если 
— единичный вектор касательной к поверхности (см. рис. 1.2), то 
и из (22) следует
Так как ориентация прямоугольника, а следовательно, и единичного вектора 
произвольна, ясно, что
т. е. тангенциальная компонента электрического вектора непрерывна на поверхности раздела.
Наконец, рассмотрим поведение тангенциальной компоненты магнитного вектора. Анализ проводится аналогичным образом, но при наличии токов появится дополнительный член. Вместо (21) в этом случае получим
Переходя, как и раньше, к пределу 
находим
Из (25) следует, что при наличии тока с поверхностной плотностью 
тангенциальная компонента магнитного вектора (рассматриваемая, как вектор) испытывает скачок, равный
Помимо разрывов, связанных с резким изменением физических свойств среды, векторы поля могут также претерпевать разрывы из-за присутствия источника, который начинает излучать в некоторый момент времени 
Тогда возмущение будет распространяться в окружающем пространстве и в любой последующий момент времени 
заполнит вполне определенную область. На (движущихся) границах этой области векторы поля будут резко изменяться от конечных значений до нуля за ее пределами.
Различные случаи разрыва можно описать уравнениями Максвелла в интегральной форме (см., например, 15], стр. 11 или 16], стр. 6). Общие условия разрывности можно также записать в форме уравнений в конечных разностях; вывод этих уравнений приведен в приложении 6.
непрерывны. В оптике часто встречается ситуация, когда эти свойства резко меняются на одной или нескольких поверхностях. Можно ожидать, что тогда векторы Е, Н, В и D также будут претерпевать разрыв, а величины 
и 
выродятся в соответствующие поверхностные величины. Выведем соотношения, описывающие переход через такую поверхность раздела.
