3. Поле экстремалей.

Установим теперь связь между двумя задачами, рассмотренными в пп. 1 и 2. Она состоит в следующем.

Если и — функции, делающие интеграл Гильберта определенный в (11), не зависящим от пути, то решением дифференциальных уравнений

служит двухпараметрическое семейство экстремалей, «ортогональных» поверхности . Под «ортогональностью» мы здесь подразумеваем выполнение условия

из которого следует, что вектор определенный в (13) через и и перпендикулярен к любому элементу поверхности.

Рис. 1. К обобщению понятий волновых фронтов и лучей в геометрической оптике. Вариационный интеграл (1) ранен постоянному значению для всех экстремален ортогональных к поверхностям

Рассмотрим область в пространстве и поставим в соответствие каждой точке области вектор (и, непрерывный и имеющий непрерывные частные производные первого порядка. Система таких векторов, определенных в заданной области пространства, называется полем. Здесь мы будем говорить о поле экстремалей, величины же и назовем функциями наклона поля.

Справедлива также теорема, обратная приведенной выше. Если поле экстремалей ортогонально поверхности и — его функции наклона, определенные в (23), то интеграл Гильберта не зависит от пути интегрирования.

Прежде чем доказывать эти теоремы, отметим следующее следствие из них. Пусть кривая С в (11) является одной из экстремалей поля; тогда интеграл Гильберта (11) сводится к вариационному интегралу Следовательно, значения этого интеграла, взятого между парами «соответствующих» точек на поверхностях (т. е. между точками, расположенными на одной экстремали, ортогональной и одинаковы для всех таких пар точек (рис. 1). Поверхности и семейство экстремалей можно рассматривать как обобщения волновых фронтов и лучей в геометрической оптике.

Для доказательства первой теоремы рассмотрим фиксированную кривую С, которая удовлетворяет соотношению (23) и ортогональна поверхности а затем применим к ней линейную вариацию, т. е. заменим х на на где — малые параметры, а и — произвольные, но фиксированные дифференцируемые функции обращающиеся в нуль при

По условию теоремы не зависит от пути интегрирования, т. е.

где индекс 0 обозначает, что после дифференцирования мы положили

Дифференцирование дает

Из с помощью (26) получим

Члены, содержащие и , обращаются в нуль, поскольку предполагается, что кривая удовлетворяет соотношению (23). Кроме того, часть членов сокращается, и мы находим

или, интегрируя по частям,

аналогично можем написать

Правые части уравнений (28а) и (286) являются первыми вариациями 1 (см. (6а) и (66)), и согласно (25) они обращаются в нуль. Следовательно, кривая С удовлетворяет уравнениям Эйлера, т. е. она является экстремалью, и наша теорема доказана.

Для доказательства обратной теоремы построим поле экстремалей, ортогональных данной поверхности и сравним его с другим полем экстремалей. Последнее поле строится следующим образом. Решаем уравнение Гамильтона—Якоби (21) с граничным условием, состоящим в том, что должна быть постоянной величиной на поверхности Если и и у определены соотношениями (22), то решение выражается интегралом (11). Тогда в соответствии с только что доказанной теоремой уравнения (23) определяют поле экстремалей ортогональных поверхности Однако поля должны совпадать, поскольку они удовлетворяют одним и тем же дифференциальным уравнениям и одним и тем же граничным условиям на поверхности Следовательно, для данного поля величина интеграла не зависит от пути интегрирования.