§ 10.8. Поляризация квазимонохроматического света

В предыдущих разделах настоящей главы мы рассматривали световое возмущение как скалярную величину. Ниже мы кратко рассмотрим некоторые векторные свойства квазимонохроматической световой волны.

В § 1.4 мы указывали, что строго монохроматический свет всегда поляризован, т. е. что конец электрического (а также магнитного) вектора в каждой точке пространства движется периодически, описывая эллипс, который, конечно, в особых случаях переходит в круг или прямую линию. Мы рассматривали также неполяризованный свет. В этом случае можно считать, что конец вектора движется совершенно нерегулярно, и такие световые колебания не имеют никаких преимущественных направлений в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения. Подобно случаям полной когерентности и полной некогерентности, указанные два случая также относятся к экстремальным. В общем случае изменение векторов поля не является ни вполне регулярным, ни вполне нерегулярным, и можно сказать, что свет частично поляризован. Обычно такой свет получается из неполяризованного при отражении (см. п. 1.5.3) или рассеянии (см. п. 13.5.2). Здесь мы исследуем основные свойства частично поляризованной световой волны Мы покажем, что для такой волны все наблюдаемые явления зависят от интенсивностей двух произвольных взаимно ортогональных компонент электрического вектора, перпендикулярных к направлению распространения, и от существующей между ними корреляции.

10.8.1. Матрица когерентности квазнмонохроматической плоской волны

Рассмотрим квазимонохроматическую световую волну со средней частотой распространяющуюся в положительном направлении оси Пусть

— две взаимно ортогональные компоненты электрического вектора в точке О, перпендикулярные к направлению распространения. Вновь воспользуемся комплексным представлением, рассмотренным в § 10.2; при этом являются «аналитическими сигналами», ассоциированными с истинными (вещественными) компонентами — Если бы свет был строго монохроматическим, то были бы постоянными. Для квазимонохроматической волны эти величины зависят также от времени но, как мы видели, за любой интервал времени, малый по сравнению с временем когерентности, т. е. малый по сравнению с величиной, обратной эффективной спектральной ширине света их изменение относительно невелико.

Рис. 10.17. Обозначения, используемые при вычислении матриц когерентности.

Предположим, что запаздывание -компоненты электрического вектора относительно х-компоненты равно (это можно осуществить, например, с помощью одного из компенсаторов, описанных в п. 14.4.2), и рассмотрим интенсивность световых колебаний в направлении, которое образует угол с положительным направлением оси (рис. 10.17). Такие колебания можно выделить, пропуская свет через соответствующим образом ориентированный поляризатор (см. п. 14.4.1).

Компонента электрического векгора в указанном направлении после введения запаздывания запишется в виде

так что

где — элементы матрицы

Диагональные элементы матрицы вещественных, как мы видим, представляют собой интенсивности и (-компонент электрического вектора. Следовательно, шпур нашей матрицы (т. е. сумма ее диагональных элементов) равен полной интенсивности света

Недиагональные элементы в общем случае комплексны, но они являются сопряженными. (Такая матрица, для которой при всех и называется эрмитовой.)

Как и раньше (см. (10.4.06)), нормируем смешанной член полагая

Тогда из неравенства Шварца тем же способом, что и при выводе (10.3.17), получим

Комплексный коэффициент корреляции играет примерно ту же роль, что и комплексная степень когерентности введенная в п. 10.4.1. Он служит мерой корреляции между и - компонентами электрического вектора. Модуль служит мерой их «степени когерентности», а фаза этого коэффициента — мерой их «эффективной разности фаз». Матрица называется матрицей когерентности световой волны. Так как не могут быть отрицательными, (6) и (7) означают, что определитель матрицы когерентности неотрицателен, т. е. что

Если использовать соотношение — и обозначить символом вещественную часть, то (3) примет вид

при переходе от первой ко второй строке сделана подстановка (6). Если положить то последняя формула становится идентичной основному закону интерференции (10.4.11) для квазимонохроматических волновых полей.

Как и функции когерентности, которые мы рассматривали ранее, элементы матрицы когерентности заданной волны можно определить посредством относите/льно простых экспериментов. Это можно сделать различными способами. Необходимо лишь измерить интенсивность для нескольких различных значений 9 (ориентации поляризатора) и (запаздывания, обусловленного компенсатором) и решить соответствующие соотношения, полученные из (3). Пусть обозначает результаты измерений, соответствующие определенной паре значений 0, в. Удобно использовать следующие их значения:

Из (3) вытекает, что элементы матрицы когерентности выражаются через интенсивности, полученные в результате измерений при шести указанных значениях в виде

Как мы видим, для определения и вещественной части (или ) необходим лишь поляризатор. Величины можно определить из измерений с поляризатором, ориентированным так, чтобы пропускать компоненты с азимутами соответственно. Для получения вещественной части необходимы измерения с поляризатором, вначале ориентированным так, что он пропускает компоненту с азимутом затем — компоненту с азимутом . Для определения мнимой части требуется также, согласно двум последним соотношениям в (11), компенсатор, который вносил бы разности фаз в четверть периода между и -компонентами (например, четвертьволновая пластинка, см. п. 14.4.2). Поляризатор при этом вначале ориентирован так, что он пропускает компоненту с азимутом , а затем — компоненту с азимутом мы покажем, что последние два измерения нужны для идентификации правой и левой круговой поляризации.

Из выражения (9) безусловно следует, что два пучка света с одинаковыми матрицами когерентности эквивалентны в том смысле, что в ряде аналогичных экспериментов с поляризатором и компенсатором получаются одинаковые (усредненные по времени) интенсивности.

Посмотрим теперь, как меняется наблюдаемая интенсивность данной волны, когда один из аргументов фиксирован, а другой изменяется. Предположим вначале, что мы фиксируем 0 и изменяем . Из (9) следует, что интенсивность при этом будет меняться синусоидально между значениями

Следовательно,

Уравнение (13) открывает другой путь определения абсолютного значения (а следовательно, и ) Оно показывает, что эту величину можно получить, измеряя фазу величины легко найти, измеряя значения при которых наблюдаются максимумы и минимумы интенсивности. Так, согласно (9),

Чтобы выяснить, как изменяется интенсивность при фиксированном и переменном , удобно переписать (9) в несколько иной форме. Легко показать, что

где

Из (15) видно, что при изменении интенсивность также меняется синусоидально. Ее экстремумы равны

В правой части (17) только величина зависит от е. Она достигает максимального значения, когда когда принимает одно из значений, указанных в (14). При этом величина равна

где — детерминант (8) матрицы когерентности. Отсюда следует, что

абсолютные максимум и минимум интенсивности (при изменении и запишутся в виде

Следовательно,

Позже мы увидим, что эта величина имеет простой физический смысл.

До сих пор мы относили колебания электрического вектора к произвольной, но фиксированной прямоугольной системе координат Ниже мы рассмотрим, как преобразуется матрица когерентности при изменении положения осей. Пусть в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения, новая прямоугольная система координат выбрана так, что ось образует угол в с (см. рис. 10.17). В новой системе координат компоненты электрического вектора выражаются через следующим образом:

Элементами трансформированной матрицы когерентности У служат

где каждый из индексов и Г принимает значения х и у. Из (21) и (22) следует, что

где

Как мы видим, шпур этой матрицы инвариантен относительно вращения системы координат. Легко показать, что ее детерминант также инвариантен относительно такого преобразования. Оба эти результата следуют и из хорошо известных теорем матричной алгебры.

Рассмотрим далее форму матрицы когерентности для некоторых случаев представляющих особый интерес.

а. Не поляризованный (естественный) свет. Свет, с которым мы чаще всего сталкиваемся в природе, обладает тем свойством, что интенсивность любой его компоненты, перпендикулярной к направлению распространения, одинакова. Более того, на эту интенсивность не оказывает влияния никакое предыдущее взаимное запаздывание перпендикулярных друг другу компонент, на которые можно разложить свет. Другими словами,

для всех значений . Такой свет называется полностью неполяризованным; часто его называют естественным светом.

Из (9) очевидно, что не зависит от тогда и только тогда, когда

Первое условие означает, что взаимно некогерентны. На основании (6) и соотношения условия (26а) можно также записать в виде

Отсюда следует, что матрица когерентности для естественного света с

интенсивностью равна

б. Полностью поляризованный свет. Рассмотрим вначале случай строго монохроматического света. Тогда и в (1) не зависят от времени, и матрица когерентности имеет вид

где

Мы видим, что в этом случае

т. е. детерминант матрицы когерентности равен нулю. Тогда для комплексной степени когерентности компонент имеем

т. е. ее абсолютное значение равно единице (полная когерентность), а ее фаза равна разности фаз обеих компонент.

В специальном случае линейно поляризованного света (см. Следовательно, матрица когерентности для линейно поляризованного света имеет вид

Электрический вектор колеблется в направлении, задаваемом соотношением. . В частности, каждая из матриц

соответствует линейно поляризованному свету интенсивности с электрическим вектором, направленным по оси и оси соответственно. Матрицы

соответствуют линейно поляризованному свету интенсивности с электрическим вектором, направленным соответственно под углами 45° и 135° к оси

Для света, поляризованного по кругу (см. (1.4.35) ц (1.4.36)), , и, значит, матрица когерентности имеет вид

где -интенсивность света. На основании (1.4 38) и (1.4.40) верхний или нижний знак соответствует правой или левой поляризации.

Условие (30) может выполняться и для немонохроматичеекого света, если зависимость величии от времени такова, что отношение амплитуд и разность фаз не зависят от времени, т. е.

где и постоянные; тогда

и условие (30) выполняется. Матрица когерентности с элементами (37) совпадает с матрицей для строго монохроматического света с компонентами

где а — произвольная постоянная. Отсюда ыедует, что в эксперименте с поляризатором и компенсатором поведение квазимонохроматпческой волны, подчиняющейся условиям (36), в точности совпадает с поведением строго монохроматической и, следовательно, полностью поляризованной волны (38). (Предполагается, конечно, что разность фаз, вносимая компенсатором, мала по сравнению с длиной когерентности света, измеренной в единицах средней длины волны.) Поэтому можно сказать, что условие (30) характеризует полностью поляризованную световую волну.