§ 9.3. Допустимые величины первичных аберраций

Прежде чем исследовать сложную проблему нахождения распределения интенсивности в дифракционном изображении при наличии аберраций, рассмотрим более простую задачу оценки максимальной величины аберраций, допустимой в оптической системе.

Из предыдущего обсуждения следует, что при наличии аберраций максимальная интенсивность в дифракционном изображении меньше интенсивности в параксиальном фокусе (центре картины Эйри) оптической системы с теми же апертурой и фокусным расстоянием, но свободной от аберраций. Рэлей [1] впервые показал, что интенсивность света в параксиальном фокусе падает меньше чем на 20% (такая потеря обычно допустима), если первичная сферическая аберрация в системе такова, что волновой фронт в выходном зрачке отстоит от опорной сферы Гаусса на расстоянии, меньшем четверти длины волны. Более поздние исследователи установили, что качество изображения при наличии других обычно встречающихся аберраций существенно не ухудшается, если деформация волнового фронта не превышает четверти длины волны. Полученный результат известен как правило четверти волны Рэлея, служащее полезным критерием допустимой величины аберраций в оптической системе, формирующей изображение. Это правило служит, конечно, лишь грубым указанием на необходимость коррекции системы, поскольку распределение света в

изображении зависит не только от максимальной деформации волновых фронтов, но и от их формы (типа аберрации). Более того, допустимое количество потерь света зависит также от назначения оптических инструментов, и поэтому в некоторых случаях приходится вводить более строгие допуски.

Если условие применить к аберрациям разного типа, то получающиеся значения интенсивности в дифракционном фокусе окажутся различными. Поэтому удобнее сформулировать такой критерий, который соответствует заданному значению интенсивности в дифракционном фокусе. Критерий подобного типа рассмотрел Марешаль [25], воспользовавшись соотношением между интенсивностью в центре опорной сферы и среднеквадратичным отклонением волнового фронта от сферической формы.

Если аберрации достаточно малы, то, согласно (9.1.24), для интенсивности в точке Р в области изображения имеем

Следуя Марешалю, мы будем считать, что система хорошо скорректирована, если нормированная интенсивность в дифракционном фокусе больше или равна 0,8. Из (1) следует, что когда , т. е. приведенное выше условие эквивалентно требованию, чтобы среднеквадратичное отклонение волнового фронта от опорной сферы, центр которой находится в дифракционном фокусе, не превышало .

Фактически условие Марешаля вытекает из несколько иного неравенства. Из (9.1.20) следует, что

Если , то в этом неравенстве величину можно заменить на , Если, кроме того, выбрать радиус опорной сферы так, чтобы , то и неравенство примет вид

Критерий Марешаля следует из неравенства (За), однако если аберрации малы, то он практически не отличается от приведенного выше критерия. Для наших целей удобнее пользоваться соотношением (1), а не (1а), поскольку первый более прямым образом связан с экстремальными свойствами круговых полиномов Цернике.

Определим теперь положение дифракционного фокуса и допуски для первичных аберраций (аберраций Зайделя). В обозначениях, принятых в настоящей главе, каждая первичная аберрация представляет собой деформацию волнового фронта вида

где . Удобно положить

и тогда (2) принимает вид

Постоянные А легко выразить через коэффициенты Зайделя и введенные в гл. 5. Если произвольную постоянную входящую в (5.2.7) и (5.2.8), положить равной единице, то обозначает увеличение плоскость входного — плоскость выходного зрачков; далее, если вспомнить, что коэффициент равен теперь единице, то переменным из (5.3.7) соответствуют

величины из настоящего раздела. Сравнивая (4) и (5.3.7), получим

В выражении через круговые полиномы типичный член, описывающий аберрацию, имеет вид

В последней колонке табл. 9.2 выписаны члены с индексами удовлетворяющими равенству (первичные аберрации) Как мы видим, некоторые члены Зайделя сопровождаются теперь членами более низкого порядка, что в соответствии с теоремой смещения (см. п. 9.1.2) вызывает сдвиг распределения интенсивности как целого

Согласно теореме, приведенной в п. 9.2.2, максимальная интенсивность в изображении, искаженном аберрацией типа (6), достигается в параксиальном фокусе.

Таблица 9.2. (см. скан) Представление первичных аберраций

Следовательно, сравнивая соответствующие члены в двух последних колонках табл. 9.2, можно сразу же определить координаты дифракционного фокуса изображения, искаженного первичной аберрацией. Проиллюстрируем последнее утверждение, подробно рассмотрев случай сферической аберрации. Эта аберрация описывается членом

Соответствующее выражение в форме (6) имеет вид

Если положить

то распределения интенсивности в обоих случаях будут, согласно теореме смещения, одинаковы; однако распределение, соответствующее (7), будет сдвинуто относительно распределения, соответствующего (8), на расстояние, определяемое из уравнения (9.1.15) с

т. е.

Так как максимум интенсивности в дифракционном изображении, соответствующем (8), находится в начале координат , то дифракционный фокус при наличии первичной сферической аберрации типа (7) расположен в точке

Координаты точки определяемые (11), допускают простое геометрическое истолкование Пусть и — поперечная и продольная сферические аберрации, считающиеся положительными, если луч пересекает ось с положительной стороны от параксиального фокуса. Из (5.1.16) при , имеем

следовательно, на основании элементарных геометрических соображений и предыдущего соотношения

Для краевого луча это даст . Тогда из (11) следует, что дифракционный фокус при наличии малой первичной сферической аберрации расположен посередине между параксиальным и краевым фокусами.

Определим теперь максимально допустимую величину сферической аберрации. Согласно (9.2.14) нормированная интенсивность в параксиальном фокусе для любой аберрации типа (6) больше или равна 0,8, если

т. е.

В частности, для первичной сферической аберрации имеем

или с учетом (9) —

Это и есть требуемое условие, определяющее максимально допустимую первичную сферическую аберрацию, согласно которому максимальное отклонение волнового фронта от опорной сферы Гаусса должно быть меньше 0,94 X.

Совершенно таким же способом можно иаити координаты дифракционных фокусов и максимально допустимые первичные аберрации других типов.

В частности, дифракционный фокус при наличии небольшого первичного астигматизма расположен в точке с координатами

Этот результат также допускает простое физическое истолкование. Согласно (5) и (5.3.18) радиусы тангенциальной и сагиттальной фокальных поверхностей и определяются из выражений снова полагается равным единице)

так что абсциссы двух фокальных линий равны

Таким образом, из (15) следует, что дифракционный фокус при наличии небольшого первичного астигматизма находится посередине между тангенциальной и сагиттальной фокальными линиями.

Поскольку первичные кривизна поля и дисторсия описываются членами, содержащими соответственно их эффект, согласно теореме смещения, состоит лишь в смещении как целого трехмерного распределения интенсивности в свободном от аберраций изображении. Итак, при наличии небольшой первичной кривизны поля или первичной дисторсии нормированная интенсивность в дифракционном фокусе равна единице, но сам дифракционный фокус не совпадает с параксиальным фокусом.

В табл. 9 3 приведены результаты, относящиеся к первичным аберрациям.

Таблица 9.3. (см. скан) Коордииаты дифракционных фокусов и условия, определяющие максимально допустимую величину первичных аберраций