§ 7.6. Многолучевая интерференция

При падении пучка света на прозрачную пластинку на ее поверхностях происходят многократные отражения, в результате чего с каждой стороны пластинки выходит ряд пучков с убывающей амплитудой. Рассматривая интерференционные эффекты, возникающие с такими пластинками (см. пп. 7.5.1, 7.5.2, 7.5.6), мы пренебрегали вкладом в результирующую интенсивность пучков, испытавших больше двух отражений. Такое допущение оправдано при малой отражательной способности поверхностей. Теперь мы учтем все отраженные пучки и покажем, что при большой отражательной способности поверхностей распределение интенсивности в картине полос изменяется. Именно поэтому многолучевая интерференция находит важное практическое применение.

7.6.1. Многолучевые интерференционные полосы, полученные с плоскопараллельной пластинкой.

Рассмотрим шюсконараллельную прозрачную пластинку с показателем преломления находящуюся в среде с показателем преломления и предположим, что на эту пластинку под углом падает плоская волна монохроматического света. Пусть луч (рис. 7.56) представляет

направление распространения падающей волны. На первой поверхности эта волна разделяется на две плоские волны: одну, отраженную в направлении и другую, прошедшую в пластинку в направлении Прошедшая волна падает на вторую поверхность под углом и здесп снова разделяется на две плоские волны: одну, прошедшую в направлении х, и другую, отраженную обратно в пластинку в направлении Такой процесс деления волны, остающейся в пластинке, продолжается, как показано на рисунке.

Рис. 7.56 Отражение плоской волны в плоек опар аллельной пластинке.

Пусть — амплитуда электрического вектора падающей волны, которую мы считаем линейно поляризованной либо параллельно, либо перпендикулярно плоскости падения. Как и в , мы полагаем, что комплексна и ее фаза равна постоянной части фазы соответствующей волновой функции. Для каждого члена совокупности отраженных или прошедших волн переменная часть фазы волновой функции отличается от такой же части фазы предыдущего члена на величину, соответствующую двукратному прохождению луча в пластинке. Согласно (7.5.6) эта разность фаз равна

где — толщина пластинки, а — длина волны в вакууме. Пусть для волны, идущей из окружающей среды в пластинку, — коэффициент отражения (отношение амплитуд отраженной и падающей волн), коэффициент пропускания (отношенне амплитуд прошедшей и падающей волн), пусть далее и — соответствующие коэффициенты для волны, идущей из пластинки в окружающую среду. Комплексные амплитуды волн, отраженных от пластинки, запишутся тогда в виде

Аналогично комплексные амплитуды волн, прошедших сквозь пластинку (отбрасывая несущественный постоянный фазовый множитель), будут равны

Величины и V связаны с формулами Френеля (см п. 5.2). Сейчас нам не нужны они в явном виде, а важно только существование таких связей. Таким образом, из соотношений (1.5.20а) и (1.5.35) видно, что для каждой поляризованной компоненты

аналогично из уравнения (1.5.21а) получим

откуда, согласно (1.5.33),

где — соответственно отражательная и пропускательная способности поверхностей пластинки — связаны соотношением

При суперпозиции первых отраженных волн амплитуда электрического вектора отраженного света дается выражением

Если пластинка достаточно длинна, число отраженных волн велико, и в пределе при мы получим из (6) и (3)

Из (2), (4) и (5) находим

и, следовательно, интенсивность отраженного света равна

где - интенсивность падающего света.

Таким же путем получаетсячвыражение для амплитуды прошедшего света, а именно

Рис. 7.57. К возникновению многолучевых интерференционных полос равного наклона в случае плоскопараллельной пластинки.

В пределе при сводится к

Отсюда, используя (2) и (4), получим

и соответствующая интенсивность прошедшего света равна

Формулы (9) и (13), известные под названием формул Эйри, находятся в согласии с результатами, полученными ранее из общей теории распространения волн в слоистой среде (см. § 1.6); если в уравнениях (1.6.60) положить и использовать соотношения (2) и (3), то получим (9) и (13).

Предположим теперь, что плоские волны равной интенсивности падают на пластинку под разными, мало различающимися углами и прошедший свет

собирается линзой (рис. 7.57). В точке Р фокальной плоскости — интенсивность прошедшего света относится к интенсивности отсутствие пластинки, как следовательно, согласно (13), в присутствии пластинки максимумы интенсивности в Р будут тогда, когда порядок интерференции определяемый выражением

равен целым числам минимумы, — когда он равен полуцелым числам Очевидно, что в фокальной плоскости I. появляются полосы равного наклона, соответствующие местам с постоянным (и, следовательно, в). Аналогично, если свет, отраженный от пластинки, собирается линзой то в ее фокальной плоскости также появятся линии равного наклона. Из (9) следует, что максимумы интенсивности в этой картине для отраженного света соответствуют полуцелым значениям порядка интерференции а минимумы — целым числам Следовательно, положение полос в обеих картинах совпадает с тем, которое получалось при приближенном рассмотрении в , где с каждой стороны пластинки мы учитывали только два первых пучка.

Рис. 7.58. Многолучевые интерференционные полосы равного наклона в прошедшем свете. Отношение интенсивности прошедшего к интенсивности издающего как функция рашости фаз — целое число

Распределение интенсивности в интерференционных картинах в отраженном и прошедшем свете описывается (9) и (13) и с помощью (5) их можно представить в виде

где параметр определяется соотношением

Очевидно, обе картины дополнительны в том смысле, что

График зависимости от разности фаз 6 при разных значениях показан на рис. 7.58. Когда Я мало по сравнению с единицей, также мало по сравнению с единицей, и мы можем разложить в ряд (см. (15)) и сохранить члены с только в первой степени. Это дает

т. е. соотношения для изменения интенсивности имеют вид (7.2.15), типичный для двух интерферирующих пучков. Если М увеличивается, приближаясь к единице так, что и становится большим, то интенсивность минимумов картины в прошедшем свете падает и максимумы становятся резче. Интенсивность в прошедшем свете всюду, за исключением участков, находящихся в

непосредственной близости к максимумам, очень мала. Таким образом, интерференционная картина в прошедшем свете имеет вид узких светлых полос на почти совершенно темном фоне. В отраженном свете она имеет вид узких темных полос на почти равномерном светлом фоне. Резкость полос принято измерять полушириной интенсивности, или просто полушириной. Для картины в прошедшем свете она равна расстоянию между точками, лежащими по обе стороны максимума в том месте, где интенсивность уменьшается до половины максимальной величины. Отношение расстояния между соседними полосами к полуширине мы назовем резкостью полос и обозначим буквой . У полосы целого порядка точки, где интенсивность равна половине максимальной величины, находятся при

где в соответствии с (156)

Когда достаточно велико, настолько мало, что в (20) мы можем принять и получим для полуширины

Так как расстояние между соседними полосами соответствует изменению на то для резкости находим

До сих пор мы предполагали, что свет строго монохроматичен. В случае квазимонохроматического света распределение интенсивности равно сумме распределений интенсивностей типа (15), обусловленных каждой монохроматической компонентой; если эти компоненты занимают область длин волн вблизи средней длины волны то максимумы порядка распределены в области, соответствующей в картине, получающейся в длине волны Согласно (14) и пренебрегая зависимостью от длины волны, находим можно считать, что интерференционные картины, создаваемые этими компонентами, совпадают, а результирующее распределение интенсивности оказывается таким же. как и в случае строго монохроматического света с длиной волны если пренебрежимо мало по сравнению с полушириной монохроматической полосы. В соответствии с (22) последнее условие выполняется т. е. при

где

— оптическая разность хода между соседними интерферирующими пучками. Неравенство (23) аналогично неравенству (7.3.15), относящемуся к случаю интерференции двух пучков. Величина, стоящая в правой части неравенства (23), тождественна длине когерентности света (см. (7.5.107)).

Из предыдущего ясно, что при возрастании отражательной способности поверхностей и, следовательно, при увеличении распределение интенсивности становится более благоприятным для определения положения полос. В интерференционной картине в проходящем свете полосы, принадлежащие различным монохроматическим компонентам, разделяются более четко. По этим

причинам многолучевая интерференция имеет большое практическое значение. В оптическом диапазоне отражательная способность поверхности между двумя диэлектриками при нормальном падении мала; например, для границы воздух стекло находим из Отражение увеличивается при косом падении и, как мы видели в когда в оптически более плотной среде свет падает под углом, близким к критическому. Отражательную способность, мало отличающуюся от единицы, можно получить и при почти нормальном падении света, путем нанесения на поверхность диэлектрика многослойного покрытия из других подходящих диэлектриков (см. § 1.6) или путем нанесения частично прозрачного слоя металла. Теория отражения от металлических пленок на диэлектрической подложке изложена в гл. 13, но здесь, забегая вперед, можно сказать, что такие слои поглощают свет, что сдвиг фаз при отражении не должен быть обязательно равен нулю или и что отражательные способности и сдвиги фаз на обеих поверхностях слоя различны, если у граничащих с ними диэлектриков неодинаковые показатели преломления. Следовательно, приведенный выше анализ неприменим в случае пластинок, покрытых металлическими слоями. Однако при идентичных слоях на обеих поверхностях пластинки уравнения (12) и (13) остаются верными, если под мы будем подразумевать отражательную способность при внутреннем отражении и заменим , определенную соотношением (1), на величину

где — сдвиг фазы при внутреннем отражении. Полагая

где — часть света, поглощенная металлом, получим из (13) и (16) соотношение

Сравнивая (27) и (156), мы видим, что для данного поглощение уменьшает интенсивность картины в проходящем свете на множитель При падении света в направлении, близком к нормальному, изменение фазы при отражении эквивалентно увеличению оптической толщины пластинки на при косом падении возникает и другое осложнение, а именно то, что сдвиг фаз зависит от поляризации света.

Рис. 7.59. Интерферометр Фабри — Перо.