10.8.2. Некоторые эквивалентные представления. Степень поляризации световой волны.

При суперпозиции нескольких независимых световых волн, распространяющихся в одном направлении, матрица когерентности результирующей волны равна сумме матриц когерентности для отдельных волн. Чтобы доказать это, рассмотрим компоненты электрических векторов (в обычном комплексном представлении) отдельных волн . Компоненты электрического вектора результирующей волны равны

а значит, элементы матрицы когерентности для этой волны определяются выражениями

Так как предполагается, что волны независимы, каждый член последней суммы равен нулю и, следовательно,

где — элементы матрицы когерентности волны. Уравнение (41) показывает, что матрица когерентности для сложной волны равна сумме матриц когерентности для всех составляющих волн.

Вместе с тем любую волну можно рассматривать как сумму независимых волн, которые, очевидно, можно выбирать различными способами. Ниже мы кратко остановимся на одном специальном способе такого выбора.

Покажем, что любую квазимонохроматическую световую волну можно рассматривать как сумму полностью неполяризованной и полностью поляризованной волн, не зависящих друг от друга, и что такое представление единственно. Для этого необходимо лишь показать, что любую матрицу когерентности можно единственным образом выразить в виде

где в соответствии с (27) и (30)

причем и

Если элементы матрицы когерентности, характеризующей

исходную волну, то на основании (42) и (43) имеем

Подставляя (45) в (44), мы получим следующее уравнение для

таким образом А явтяется характеристическим корнем (собственным значением) матрицы когерентности Два корня уравнения (46) равны

где, как и раньше, — определитель (8). Так как произведение неотрицательно и из (8) следует, что

значит оба корня (47) вещественны и неотрицательны. Рассмотрим вначале решение со знаком минус перед квадратным корнем. Имеем

Поскольку

В и С также неотрицательны, как и требуется. Второй корень (47) (со знаком плюс перед квадратным корнем) дает отрицательные значения В и С, и поэтому его следует отбросить. Таким образом, мы получили единственное разложение требуемого вида.

Полная интенсивность волны равна

а полная интенсивность поляризованной части —

Отношение интенсивности поляризованной части к полной интенсивности называется степенью поляризации Р волны; согласно (50) и (51) она определяется соотношением

Это выражение содержит лишь два инварианта вращения матрицы когерентности, и поэтому, как и следовало ожидать, степень поляризации не зависит от выбора осей . Из (52) и неравенства, предшествующего (48), вытекает, что

Когда неполяризованная компонента отсутствует и, значит, волна полностью поляризована. При этом так что , следовательно, взаимно когерентны. Когда отсутствует поляризованная компонента. Волна тогда полностью неполяризована. В этом случае т. е.

Так как то находим, что равна нулю сумма квадратов двух величин, а это возможно лишь в том случае, когда каждая из них равна нулю, т. е. когда

что соответствует (26б). Тогда взаимно некогерентны Во всех других случаях мы говорим, что свет частично поляризован.

Сравнение (52) и (20) показывает, что величина в точности равна степени поляризации Р.

Выражение для степени поляризации принимает простую форму, когда взаимно некогерептны (но свег не обязательно естественный). Так как в этом случае то и (52) переходит в

Это выражение согласуется с формулой (1.5.42), используемой для определения поляризации естественного света при отражении.

Укажем несколько полезных представлений естественного света. Матрицу когерентности (27) для естественного света всегда можно записать в виде

а это означает, согласно (33), что волна естественного света интенсивности I эквивалентна двум независимым линейно поляризованным волнам с интенсивностью каждой, равной и электрическими векторами, колеблющимися в двух взаимно перпендикулярных направлениях, нормальных к направлению распространения.

Другое полезное представление естественного света имеет вид

Согласно (35) оно означает, что волна естественного света интенсивности эквивалентна двум независимым циркулярно поляризованным волнам с интенсивностью каждой, равной , причем одна из волн поляризована по правому кругу, другая — по левому.

Возвращаясь к общему случаю (частично поляризованный свет), следует отметить, что, в отличие от степени поляризации Р, степень когерентности зависит от выбора осей х и у. Однако легко показать, что не может превышать Р. Действительно, если в (52) мы запишем полное выражение детерминанта и используем (6), то найдем, что

Так как среднее геометрическое любых двух положительных чисел не может превышать их среднего арифметического, то т. е.

Знак равенства в (59) справедлив тогда и только тогда, когда т. е. когда интенсивности (средние по времени) и -компонент электрического вектора одинаковы. Ниже мы покажем, что всегда существует пара направлений, для которых это справедливо.

При повороте осей хиув плоскости, в которой они лежат, на угол против часовой стрелки, переходят соответственно в причем на основании (23)

Из (60) следует, что если оси поворачиваются на угол задаваемый соотношением

Так как вещественны, уравнение (61) всегда имеет вещественное решение для 0. Таким образом, всегда существует пара взаимно ортогональных направлений, для которых интенсивности равны. Для этой пары направлений степень когерентности электрических колебаний принимает максимальное значение, равное Р — степени поляризации, волны.