§ 9.5. Изображение протяженных предметов

До сих пор мы изучали только изображения точечных источников. Опишем теперь некоторые общие методы, основанные на фурье-преобразованиях, применяемых при исследовании изображений протяженных предметов. Эти методы были развиты, главным образом в работах Дюффье [31], частично в сотрудничестве с Лансро [32]; в дальнейшем они были развиты и применены к решению частных задач многими исследователями (см., например, 133—371).

Мы рассмотрим отображения когерентным и некогерентным светом раздельно.

9.5.1. Когерентное освещение.

Обозначим декартовы координаты точек в плоскостях параксиального изображения и выходного зрачка соответственно через и будем считать, что оси выбранных систем координат взаимно параллельны, а их начала расположены на оси. Точки, лежащие в плоскости предмета, удобно характеризовать такими нормализованными координатами что

где декартовы координаты произвольной точки предмета, а поперечное увеличение; в результате численные значения координат точки предмета и ее параксиального изображения будут одинаковыми .

Оптическую систему можно охарактеризовать с помощью функции пропускания которая определяется как комплексная амплитуда возмущения (рассчитанного на единицу площади в плоскости в точке в плоскости параксиального изображения, обусловленного возмущением с единичной амплитудой и нулевой фазой в точке предмета Функция пропускания зависит, конечно, и от длины волны X, однако эта зависимость учитываться не будет, поскольку мы рассматриваем только монохроматический свет.

Пусть — комплексное возмущение в точке, находящейся в плоскости предмета. Элемент поверхности, содержащий точку вызывает возмущение в точке плоскости изображения. Следовательно, полное возмущение в точке равно

Бесконечные пределы интегрирования играют чисто формальную роль, поскольку вне области, которая посылает свет в пространство изображений системы, величина равна нулю.

При рассмотрении точечных источников свойства системы описывались комплексным возущением в плоскости выходного зрачка, которое характеризовалось функцией аберраций и амплитудным множителем, причем последний считался постоянным в системах с умеренной апертурой. Функцию пропускания нетрудно выразить через эти величины. Для этого рассмотрим сначала соотношение (2) в предельном случае, когда источник становится точечным, имеет единичную «силу» и нулевую фазу и расположен в точке т. е. когда

где — дельта-функция Дирака (см. приложение 4), Тога (2) дает

т. е. функция пропускания К описывает возмущение от точечного источника, задаваемого (3). Выберем центр опорной сферы Гаусса в точке параксиального изображения Пусть — радиус этой сферы, а

— возмущение точечного источника (3) в ее произвольной точке . Тогда фаза функции равна (с точностью до аддитивного члена функции аберраций Ф системы, а амплитуда служит мерой неоднородности амплитуды волны, формирующей изображение. Множитель в правой части (5) введен для упрощения окончательных формул. Согласно принципу Гюйгенса— Френеля возмущение в плоскости изображения связано с возмущением на опорной сфере Гаусса формулой (углы дифракции считаются малыми)

где расстояние между точкой на этой сфере и точкой на плоскости параксиального изображения, а интегрирование проводится по той чзсти

опорной сферы, которая приблизительно закрывает апертуру. Если в уравнениях (8.8.2) и (8.8.7) положить то найдем

Из формул (4) — (7) получим

где в точках , находящихся вне отверстия. Это и есть требу емое соотношение между функцией пропускания К и функцией зрачка системы.

Поскольку функцию К можно рассматривать как возмущение в точке изображения точечного источника, то она (рассматриваемая как функция имеет резкий максимум в точке параксиального изображения или вблизи от нее и быстро спадает, хотя, как правило, немонотонно, с увеличением расстояния до этой точки. В хорошо скоррегированной системе функция К имеет заметную величину лишь в области, размер которой порядка диаметра первого темного кольца в картине Эйри. Как функция координат изменяется очень слабо при перемещении точки по поверхности предмета. Точнее, рабочее поле можно разделить на несколько областей так, чтобы каждая из них была больше самой мелкой детали, которую система способна разрешить, причем в каждой из этих областей А величина К является в хорошем приближении функцией вектора отклонения точки от точки параксиального изображения, но не зависит от координат самой точки изображения. Например, в хорошо скоррегированной системе функция описывает с точностью до постоянного множителя картину Эйри, центр которой находится в точке параксиального изображения . В этом случае можно написать

Область А, обладающая такими свойствами, называется изопланатической областью системы. Ограничимся рассмотрением предметов, малых по сравнению с изопланатической областью . В этом случае уравнения (2) и (8) можно заменить на

и

где функция уже не зависит от координат точки предмета.

Разложим в интегралы Фурье:

Тогда обратное преобразование Фурье дает

Согласно уравнению (2а) является сверткой тогда на основании теоремы о свертке [39] получим после обратного преобразования Фурье простое соотношение

Отсюда следует, что если возмущения в плоскости предмета и в плоскости изображения представлены в виде суперпозиций пространственных гармоник бссх возможных «пространственных частот» то каждая компонента возмущения в изображении зависит только от соответствующей компоненты в предмете, и их отношение равно Таким образом, переход от предмета к изображению эквивалентен действию линейного фильтра. Более того, сравнение (10в) с (8а) дает -

т. е. при когерентном освещении функция частотного отклика (называемая также коэффициентом пропускания) равна значению функции зрачка в точке

опорной сферы Гаусса.

Поскольку равна нулю в точках плоскости , лежащих вне отверстия, амплитуды разложения, которые соответствуют частотам, превышающим определенное значение, не пропускаются системой. Если отверстие имеет вид окружности радиуса а, то, очевидно, амплитуды, соответствующие частотам, для которых

не пропускаются системой. Чтобы проиллюстрировать результат, рассмотрим одномерный предмет, свойства которого не изменяются в направлении х. Пусть — период, соответствующий частоте Тогда из (15) следует, что система может пропускать информацию только о тех спектральных компонентах, для которых

где — половина угловой апертуры со стороны изображения,

которая считается малой. Тогда где М—линейное/увеличение, и если предположить, что система подчиняется условию синусов, то (см. д. 4.5.1) и (16) можно переписать в виде

где — длина волны в вакууме, числовая апертура системы. Таким образом, если возмущение в плоскости предмета меняется синусоидально в зависимости от положения, то информация о нем в плоскости изображения появится лишь в том случае, если период возмущения превышает значение правой части (17).