ГЛАВА 14. КРИСТАЛЛООПТИКА

§ 14.1. Тензор диэлектрической проницаемости анизотропной среды

Вспомним, что в основе нашей оптической теории лежат две отдельные системы: одна — уравнения Максвелла (1.1.1) и (1.1.2), другая — материальные уравнения, которые для изотропной среды были записаны в виде формул (1.1.9)- (1.1.11). Чтобы принять во внимание анизотропию кристаллов, необходимо обобщить последние уравнения. В основной части настоящей главы мы будем рассматривать однородную, непроводящую и магнитно изотропную среду, считая однако, электрически анизотропной. Иными словами, мы будем рассматривать вещества, электрическое возбуждение которых зависит от направления электрического поля. Тогда вектор вообще говоря, не будет параллелен вектору Е. Заменим уравнение (1.1.10) простейшим соотношением между и Е, позволяющим учесть анизотропию, а именно соотношением, в котором каждая компонента вектора связана линейно с компонентами Е, т. е.

Девять величин являются постоянными среды и составляют тензор диэлектрической проницаемости-, следовательно, вектор равен произведению этого тензора на вектор Е.

Перепишем уравнение (1) в более компактной форме:

где — один из трех индексов или а индекс I, по которому ведется суммирование, принимает по очереди значения При формальной тензорной записи знак суммирования обычно опускают, а указанием на суммирование по всем значениям I служит двукратное появление в произведении этого индекса. Однако мы сохраним знак суммы, так как это поможет избежать каких-либо неясностей для читателей, не знакомых с тензорным исчислением.

Предположим, что выражения (1.1.31) для плотностей электрической и магнитной энергий остаются спраредливыми и здесь. Тогда

и

Сохраним также определение вектора Пойнтинга, или «лучевого вектора»,

задаваемое (1.1.38), т. е.

и посмотрим, согласуются ли эти определения с законом сохранения энергии.

Как и в п. 1.1.4, умножим первое уравнение Максвелла на Е, второе на Н и используем векторное тождество (1.1.27). Тогда получим

Если разделить обе части этого равенства на то второй член в правой части будет представлять скорость изменения магнитной энергии в единице объема, но первый его член окажется скоростью изменения плотности электрической энергии лишь при условии

Здесь различие индексов фиктивно, так как оба они принимают одни и те же значения . Следовательно, наше выражение не изменится, если переставить и I во втором члене, что дает

Поскольку такое условие должно выполняться при любом значении поля, отсюда следует» что

Это означает, что тензор диэлектрической проницаемости должен быть симметричным. Из девяти его компонент только шесть независимы. Обратно, условие (8) достаточно, чтобы обеспечить справедливость уравнения (7), и мы получаем теорему, выражающую закон сохранения энергии в дифференциальной форме («гидродинамическое уравнение непрерывности» (1.1.43)), т. е.

Симметричность тензора позволяет привести выражение для электрической энергии к такой форме, при которой сохраняются лишь квадраты компонент ноля и отсутствуют их произведения. Рассмотрим в пространстве поверхность второго порядка

Левая часть уравнения (10) должна иметь положительную квадратичную форму, потому что при замене на компоненты вектора Е она становится равной а энергия должна быть положительной для любого значения вектора поля. Поэтому уравнение (10) описывает эллипсоид, и его всегда можно привести к главным осям эллипсоида; таким образом, существует система координат, связанная с кристаллом, в которой уравнение эллипсоида имеет вид

В этой системе главных диэлектрических осей материальные уравнения и выражение для электрической энергии принимают простую форму, а именно:

Величины называются главными диэлектрическими проницаемостями. Из приведенных выше формул непосредственно следует, что и Е всегда имеют различные направления, если только направление вектора Е не совпадает с одной из главных осей или все главные диэлектрические проницаемости не равны друг другу. В последнем случае эллипсоид вырождается в сферу.

Здесь необходимо сделать замечание о влиянии дисперсии. Напомним, что в случае изотропных сред диэлектрическая проницаемость не является постоянной вещества, а зависит от частоты, и точно так же в анизотропной среде шесть компонент тензора диэлектрической проницаемости изменяются с изменением частоты. Поэтому меняются не только значения главных диэлектрических проницаемостей но и направления главных осей. Это явление известно как дисперсия осей. Однако оно может возникать лишь в тех кристаллических структурах, симметрия которых не позволяет выделить предпочтительный ортогональный триплет направлений; т. е. в кристаллах моноклинной и триклинной систем (см. п. 14.3.1).

Можно не учитывать дисперсию, если ограничиться рассмотрением монохроматических волн; тогда величины являются постоянными, зависящими лишь от свойств вещества.