11.5.2. Выражение решения через интегралы Френеля.

Если велико, т. е. если расстояния от начала координат порядка длины волны или больше нее, можно попытаться вычислить интегралы обида о вида

методом наибыстрейшего спуска (см. приложение 3). Предварительная процедура в этом методе заключается в замене пути интегрирования (сейчас в

подынтегральном выражении допускается существование любых сингулярностей) на путь наибыстрейшего спуска, например проходящий через седловую точку при Путь показан на рис. 11.8. Вдоль него новая переменная

пробегает все вещественные значения от до Тогда интеграл (9) принимает вид

Отсюда можно получить асимптотическое приближение для

Применение такого метода к специальному интегралу в (8) позволяет фактически без приближений получить его выражение через интегралы Френеля.

Сейчас это будет показано.

Рис. 11.8. Путь наибыстрейшего спуска в комплексной -плоскости.

Рассмотрим сначала случай

Так как (7) можно представить в виде

то достаточно вычислить

поскольку вклад от можно затем найти, изменяя знак . Простое преобразование (13) дает

применив подстановку

получим

где

Но

откуда, умножая на и интегрируя по от до бесконечности, получим

Обозначая через

одну из форм комплексного интеграла Френеля находим

Верхний знак берется при нижний — при

Объединяя эти результаты, имеем окончательно для

где верхний знак берется для а нижний — для

Для того чтобы получить из (8) полное поле, остается только учесть простой полюс при Поскольку , легко показать, что при замене пути С на путь части на бесконечности не вносят вклада поле, и из рис. 11.8 ясно, что полюс захватывается тогда и только тогда, когда . Его вклад, полученный по теореме вычетов, равен

Другими словами, он представляет отраженную волну геометрической оптикщ разрыв которой при переходе через точно уравновешивается разрывом в дифрагированном поле (19). В самом деле, применяя соотношение

мы можем записать полное поле (8) в виде

что совпадает с известным результатом Зоммерфельда,

Когда вычисляемый интеграл равен

Соответствующий путь наибыстрейшего спуска теперь имеет вид и захват полюса при который имеет место только при приводит к выражению, соответствующему падающей волне со знаком минус. Полное поле опять определяется выражением (22).

Соответствующие соотношения для компонент Н получаются просто дифференцированием, как показано в п. 11.4.1. Представляют интерес как декартовы компоненты так и полярные компоненты . Ввиду того, что (22) выражено через , удобно сначала получить и из уравнений Максвелла

а затем найти из соотношений

Для получения более компактных результатов введем следующие обозначения:

Заметим, что

Выражение (22) тогда принимает вид

отсюда следует, что