2.2.3. Поле линейного электрического диполя.

Для дальнейшего полезно записать в явном виде полные решения уравнений поля в вакууме для поли, создаваемого линейным электрическим диполем, расположенным в точке и колеблющимся в фиксированном направлении, определяемом единичным вектором Такой диполь характеризуется электрической поляризацией

где — функция времени, дельта-функция Дирака, В общем случае

диполь с ориентацией также зависящей от времени, эквивалентен трем линейным диполям, дипольные моменты которых ориентированы вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений.

Согласно (40) электрический вектор Герца, связанный с (48), равен

где — расстояние точки от точки

Так как удовлетворяет всюду (кроме начала координат) однородному волновому уравнению для вакуума, уравнения (42)-(45) сводятся к

Используя тождество и соотношение можно переписать (50) в виде

Из (49) после простого расчета получим

где, как и раньше, величины в квадратных скобках соответствуют запаздывающим значениям. Подставляя эти выражения в (52) и (51), получим искомые формулы для векторов поля, а именно

Рис. 2.2. Расчет поля линепного электрического диполя а дипольным моментом вдоль оси

Позже нам понадобятся также выражения для Е и Н в сферических координатах. Выбирая направление в качестве оси (рис. 2.2) и обозначая через и единичные векторы в направлении увеличения и получим

Тогда (53) и (54) дают

где

Таким образом, электрический вектор лежит в меридиональной плоскости, проходящей через ось диполя, а магнитный вектор перпендикулярен этой плоскости.

Особый интерес представляет поле в области, которая настолько удалена от диполя, что в приведенных выше уравнениях можно пренебречь всеми членами, кроме членов первого порядка относительно Эта волновая (или радиационная) зона характеризуется тем, что для нее

В этой области

а другие компоненты пренебрежимо малы. Следовательно, в волновой зоне векторы Е и Н по величине равны между собой и перпендикулярны друг к другу и к радиусу-вектору который совпадает там с направлением вектора Пойнгинга. Поэтому в этой зоне структура поля линейного электрического диполя подобна структуре поля плоской волны. Однако в случае диполя на каждой «волновой поверхности» (сфере с центром в точке векторы поля меняются от точки к точке, уменьшаясь по величине от экватора к полюсам, причем на оси осциллятора они равны нулю. Поэтому диполь не излучает энергии в направлении своей оси.

Рассчитаем количество энергии, излучаемой за 1 сек через каждую сферическую волновую поверхность Оно равно интегралу от величины вектора Пойнтинга взятому по этой поверхности. В волновой зоне

Следовательно, общее количество энергии, протекающее через сферическую поверхность в секунду, равно обозначает элемент поверхности)

Рассмотрим специальный случай, когда является периодической функцией с угловой частотой со, т. е.

где комплексная постоянная. Будем считать, что вещественная часть (62) представляет Два условия (58) теперь сводятся к одному

а (59) дает для неисчезающих компонент поля в волновой зоне выражение

предполагается, что берется вещественная часть выражения, стоящего в правой части (64). Количество энергии, проходящее в секунду через единичную площадь сферической поверхности в волновой зоне, равно

где

Отсюда, усредняя по времени за интервал времени, большой по сравнению с периодом получим

Поэтому энергия (усредненная по времени), проходящая в секунду через всю поверхность, равна