7.5.3. Локализация полос.

Интерференционные устройства, рассмотренные до сих пор, можно в общем охарактеризовать как устройства, в которых свет от источника достигает точек в области интерференции двумя различными путями. Пусть Р будет такой точкой, и предположим, что свет длиной волны

испускается квазимонохроматическим точечным источником . Если два луча от до Р (рис. 7.32), то разность фаз в точке Р равна

Величина зависит от положения Р, но она однозначно определена для всех Р, так что интерференционные полосы, являющиеся геометрическим местом точек, для которых постоянна, образуются в любой плоскости той области, где встречаются оба луча от 5. Мы говорим, что такие полосы не локализованы. Они всегда наблюдаются с точечным источником, и их видпость зависит только от относительной интенсивности обеих волн.

Рис. 7.32. К интерференции двух пучков света от точечного источника.

Допустим теперь, что квазимонохроматический первичный источник занимает некоторое пространство вокруг 5. Как и в предположим, что такой источник состоит из некогерентных точечных источников, каждый из которых создает нелокализованную интерференционную картину. Тогда в каждой точке полная интенсивность равна сумме интенсивностей таких элементарных картин. Если в точке Р разность фаз излучения от различных точек протяженного источника неодинакова, то элементарные картины смещены друг относительно друга в окрестности Р и видность полос в точке Р меньше, чем в случае точечного источника. Вообще говоря, как будет видно из дальнейшего, взаимное смещение (а следовательно, и уменьшение видности) растет по мере увеличения источника, но зависит от положения Р. Таким образом, хотя мы имеем здесь дело с протяженным источником, видность полос в некоторых точках Р может остаться такой же (или почти такой же), как и в случае точечного источника, тогда как в другом месте она упадет практически до нуля. Такие полосы характерны для протяженного источника и называются локализованными.

Уменьшение видности, связанное с заданными размерами источника, вообще говоря, трудно поддается расчету, так как оно зависит не только от относительной интенсивности элементарных картин, но и от их взаимного смещения. Однако здесь легко выделить два крайних случая. Взаимное смещение элементарных картин, малое по сравнению с одним порядком, очевидно, незначительно влияет на полосы, и при определенных обстоятельствах (см. рис. 7.11) уменьшение видности остается незаметным, по крайней мере при визуальном наблюдении, пока

Здесь — максимальная и минимальная разность фаз излучения в точке Р, приходящего от различных точек протяженного источника. Этот критерий справедлив также для источника с рассмотренным ранее распределением интенсивности (см. рис. 7.15, б, в), и мы вправе предположить, что он всегда выполняется. Вместе с тем, когда

взаимное смещение элементарных картин достигает многих порядков, и видность полос становится очень малой.

Исследуем теперь зависимость для некоторой точки протяженного источника от ее положения относительно точки . Точки и Р являются «сопряженными» в том смысле, что от точечного источника с длиной волны

находящегося в Р, в точку пришли бы две волны с разностью фаз . Пусть волновые фронты этих двух волн, проходящие через точку и нормальные к и соответственно (рис. 7.33). Их кривизны зависят от положений и Р и от оптических особенностей данного устройства. Пусть нормали, опущенные из точки на волновые фронты и пересекаются с ними в точках соответственно. Оптическая длина пути от до Р равна а оптическая длина пути от до Р равна Разность фаз в точке Р, соответствующей составляет, следовательно,

или, учитывая (32),

где и — показатель преломления среды, окружающей источник.

Рис. 7.33. К интерференции двух пучков света от протяженного источника.

Рис. 7.34. К исследованию локализации полос в дкухлучевом интерференционном устройстве.

Пусть — начало прямоугольных координат с осями и причем и — соответственно внутренняя и внешняя биссектрисы угла (рис. 7.34). Пусть далее радиусы кривизны волновых фронтов в плоскостях и равны соответственно тогда центрами их кривизны служат точки соответственно, где - угол Если координаты точки то

Если размеры источника малы по сравнению с мы можем пренебречь степенями выше второй; тогда

Аналогично

В большинстве случаев, представляющих практический интерес, мало, и можно отбросить члены в разложениях (38) и (39), содержащие Тогда из (36), (38) и (39) мы получим

Если здесь можно пренебречь членом, не зависящим от (5, то

В таком приближении при , так что разность фаз (и, следовательно, уменьшение видности) незначительна, если мы пользуемся источником, протяженным в плоскости . Согласно (33) и (41) уменьшение видности неощутимо, если размеры источника в направлении, нормальном к эгой плоскости, не превышают Итак, направления , следовательно, направления выбранных координатных осей, вообще говоря, зависят от положения Р. Если для всех точек Р плоскости имеют общую линию пересечения, то линейный источник (практически щель шириной, меньшей вытянутый вдоль этой линии, дает в любой точке полосы такой же видности, как и точечный источник; полосы остаются нелокализованными. Все это относится ко всем случаям, описанным в п. 7.3.2 (исключая опыт Меслина). В случае зеркал Френеля, например, при любом положении точки Р линия, проходящая через и параллельная линии пересечения зеркал, лежит в плоскости и при линейном источнике (щель), ориентированном также вдоль этой линии, наблюдаются, как было установлено в нелокализованные полосы. Легко показать, что выражение (7.3.26) для ширины щели эквивалентно условию Однако, вообще говоря, плоскости для всех Р не имеют общего пересечения. Для получения картин в точках Р линейный источник должен находиться только в ограниченной области плоскости Если же протяженный источник занимает область, границы которой отстоят от этой плоскости на расстоянии, большом по сравнению с то, согласно (34) и (41), видность будет очень мала. При этих обстоятельствах полосы от линейного источника будут локализованы в области, положение которой зависит от ориентации источника.

Величина зависит от положения Р, и если мы пренебрежем зависимостью от то, согласно (40), величина для данного х уменьшается при уменьшении Отсюда следует, что если размеры источника увеличиваются в направлении, нормальном к плоскости то полосы локализуются в области, соответствующей достаточно малым значениям . В частности, если и совпадают; в области локализации лежат и те точки Р (если они вообще существуют), которые находятся на пересечении обоих лучей, образованных из одного падающего луча, выходящего из . В окрестности этих, точек пренебрежимо мало, и мы получим из (40)

Пусть сферические волновые фронты; тогда не зависят от х и у, и уменьшение видности не зависит от направления, в котором источник вытянут в плоскости Для источника в виде диска, лежащего в этой же плоскости, уменьшение видности, согласно (33) и (42), незначительно при условии, что его радиус не превышает

В случае плоскопараллельной пластинки, рассматриваемой в зрительную трубу (см. п. 7.5.1), , когда точка Р находится в фокальной плоскости объектива, а бесконечны при всех положениях , так что в соответствии с для любых х и у. Следовательно, в фокальной плоскости объектива видность полос не зависит ни от положения, ни от размеров источника. На практике апертура объектива всегда ограничивает эффективный размер источника. Следовательно, при наблюдении полос вне фокальной плоскости объектива (как, например, при неправильной установке зрительной трубы) уменьшение видности остается незначительным до тех пор, пока эффективный размер источника не превысит величины, допускаемой (33) и (40).

В качестве примера рассмотрим полосы в отраженном свете от прозрачного клина с небольшим углом а; пусть его показатель преломления равен , а сам он ограничен плоскими поверхностями и находится в среде с показателем

преломления . Пусть — точечный источник квазимонохроматического света. Рассмотрим луч, лежащий в главном сечении клина (сечение под прямым углом к ребру) и падающий на переднюю поверхность клина в точке А (рис. 7.35). Этот луч вызывает появление отраженного луча и преломленного

Рис. 7.35. Лучи, отраженные и преломленные на поверхностях плоского клина.

Преломленный луч после отражения в В от задней поверхности клина и преломления в С на передней его поверхности, выходит в направлении и встречает отраженный луч в точке Р. Если источник занимает конечную область вокруг то полосы вблизи плоскости локализованы в окрестности Р.

Пусть — расстояние между А и ребром клина — соответственно углы падения и преломления в точке А, а — угол Если В и О находятся по одну сторону от нормали, восстановленной в А, к задней поверхности клина, то точка Р оказывается действительной (рис. 7.35, а): угол отражения в В равен угол выхода луча в точке С равен и из элементарной геометрии следует, что

По закону Снеллиуса для преломления в точках А и С получим

Вычитая однб другого и пользуясь тождеством

находим

и, если величина не слишком близка к мы можем написать для малого а

Из (43), (44) и (46) имеем

При малом а последнее соотношение можно разложить по степеням а, используя (51). Оставляя только главный член и принимая во внимание (48), получим

Члены, отброшенные в (53), порядка , т. е. порядка толщины клина в точке А. Если В и О находятся по разные стороны от нормали к задней поверхности клина, восстановленной в точке А (рис. 7.35, б), то точка Р оказывается мнимой, но приближенная формула (53) остается справедливой.

Пусть клин представляет собой воздушную прослойку между двумя стеклянными пластинками и мы вправе пренебречь эффектами, вызванными пре ломлением в передней пластинке; тогда можно положить в и угол

Рис. 7.36. К локализации полос в главном сечении воздушного клина. Преломление на поверхностях клина не учитывается

Рис. 7.37. К локализации полос, получающихся с клином, от источника света, находящегося в бесконечности.

Геометрическое место точек Р имеет тогда вид окружности с диаметром где зеркальное изображение в передней поверхности клина (рис. 7.36).

Если источник 5 находится так далеко от клина, что все падающие лучи можно считать параллельными 5/1, то 0, а значит, 0 и не зависят от и из (52) следует, что пропорционально . В этом случае геометрическое место точек Р — плоскость, в которой лежит ребро клина (рис. 7.37). Угол 7 между этой плоскостью локализации и плоскостью, нормальной к отраженному пучку, определяется из (53) и соотношения в виде

Очевидно, что , если и при нормальном падении плоскость локализации полос совладает с передней поверхностью клина.

Рассмотрим далее оптическою разность хода в точке Р. Из рис. 7.35, а для действительной точки Р имеем

Согласно (43) и (44) для малого а и величины , не слишком близкой к находим

где

— толщина клина в точке А. В этом приближении мы отбрасывали члены со степенями а. Аналогичным образом из (43), (45), (46) и (47) получим

Следовательно, из (55), (56), (58) и (48) имеем

и соответствующая разность фаз в точке Р равна

Подобным же способом мы найдем, что это приближение справедливо и для условий, показанных на рис. 7.35, б, когда Р — мнимая точка. Если учесть изменение фазы на , происходящее при отражении на одной из поверхностей клина, то в соответствии с (60) и (7.2.16) находим, что максимумы интенсивности в Р будут при

а минимумы интенсивности — при

Очевидно, что при постоянном угле 0 полосы в плоскости локализации эквидистантны и параллельны ребру клина.

Рис. 7.38. Положение центров кривизны волновых фронтов от точечного источника света после отражения и преломления на поверхностях плоского клина.

Наконец, определим, как велики могут быть размеры источника, окружающего точку при которых еще нет заметного уменьшения видности полос в Р.

Представим себе, что точечный источник помещен в точку Р, и определим радиусы кривизны волновых фронтов достигающих после отражений на передней и задней поверхностях клина (рис. 7.38). Центр кривизны сферической поверхности лежит в на где точка зеркальное изображение Р в передней поверхности клина. Таким образом,

Волновой фронт вообще говоря, отличен от сферического. Рассмотрим сначала его радиус кривизны в главном сечении клина. После преломления в С центр кривизны лежит на продолжении и его положение определяется формулой (4.6.21). В обозначениях, принятых в § 4.6, имеем и из соотношения (4.6.21) получаем

После отражения в В центр кривизны окажется в точке на продолжении , где зеркальное изображение Р в задней поверхности клина; после преломления в А центр кривизны окажется в точке на , согласно (4.6,21)

(при ), находим

Радиус кривизны фронта в главном сечении клина равен

где, согласно (64), и соотношению

или, используя (63),

Для малого а имеем

Здесь мы воспользовались соотношениями (56) и (58). Из (62), (65) и (68) получим окончательно

Аналогично можно вывести соответствующие выражения для сечения перпендикулярного главному сечению клина. Вместо (4.6.21) нужно пользоваться (4.6.22), и тогда вместо (63) и (64) мы получим

Это приводит к следующей формуле для разности радиусов кривизны сечений перпендикулярных к главному сечению клина:

Как уже отмечалось раньше, из (33) и (42) можно заключить, что уменьшение видности в точке Р незначительно, если радиальные размеры источника относительно не превышают Из (69) и (71) следует, что при 0, не слишком близком к величина — будет порядка и если достаточно велико по сравнению с как в случае устройства Физо, то можно принять . В этом приближении допустимый угловой радиус источника, наблюдаемый из точки равен

В частности, для почти нормального падения света из (69) и (71) следует, что и (72) принимает вид

Для типичных значений для тонкого воздушного клина см, выражение (73) дает . Очевидно, допустимые размеры источника пропорциональны . Например, в только что разобранном случае при см величина согласно (73), примерно равна 12. Поэтому при исследовании интерферометра Физо мы говорили, что можно получить полосы с большой видностью с толстым клином, если источник достаточно мал.