14.3.4. Преломление в кристаллах

а. Двойное лучепреломление. Рассмотрим плоскую волну, падающую из вакуума на плоскую поверхность анизотропной среды. Эта волна создаст прошедшее и отраженное поля. Мы кратко рассмотрим характер прошедшего поля, используя по существу те же рассуждения, что и в случае изотропных тел (см., п. 1.5.1). Ограничимся определением направления распространения возмущения внутри кристалла и не будем исследовать выражений для отношений амплитуд, соответствующих формулам Френеля

Пусть и — единичные векторы нолновой нормали падающей и прошедшей волн соответственно. Вскоре мы увидим, что в общем случае имеются две проходящие волны, так что имеются два возможных значения Векторные поля падающей и прошедшей волн являются функциями величии соответственно. Из условия непрерывности поля на границе раздела вытекает, что для любой точки на плоскости и для всех моментов времени справедливо соотношение

т. е.

Следовательно, вектор должен быть перпендикулярен к границе раздела. Допустимые направления волновых нормалей можно определить следующим образом. Из произвольной точки О на плоскости , как из начала координат, во всех направлениях отложим векторы длиной где фазовая скорость, соответствующая каждому направлению согласно уравнению Френеля (14.2.24). Концы векторов образуют двухоболочечную поверхность, которая отличается от поверхности нормалей тем, что длина каждого радиуса-вектора составляет вместо Эта поверхность называется обратной поверхностью волновых нормалей. Она соответствует лучевой поверхности и поэтому, как и лучевая поверхность, представляет собой поверхность четвертого порядка. Поскольку искомый вектор должен быть таким, чтобы

вектор был перпендикулярен к , его конец должен лежать на нормали к , проведенной через конец Р вектора . В общем случае нормаль к пересекает обратную поверхность в четырех точках, две из которых расположены с той же стороны поверхности раздела, что и кристалл. Следовательно, мы нашли две нужные точки и на рис. 14.10), т. е. два возможных направления волновой нормали. Таким образом, в общем случае каждая падающая волна вызывает две преломленные во ты. Каждой преломленной волне соответствует направление луча и лучевая скорость, описывающие распространение энергии в кристалле. Это явление носит название двойного лучепреломления. В качестве иллюстрации напомним хорошо известный эффект появления двух изображений при рассматривании небольшого объекта через пластинку исландского шпата.

Рис. 14.10 К определению допустимых направлении волновых нормалей при двойном лучепреломлении.

Считая граничную плоскость плоскостью перепишем (22) в виде равенств

которые должны удовлетворяться при всех значениях х и у. Отсюда следует, во-первых, что т. е. оба преломленных луча лежат в плоскости падения. Кроме того, если — углы, которые падающая и две прошедшие волны образуют с осью, то из (23) получим

Таким образом, каждая из прошедших в кристалл волн подчиняется такому же закону преломления, как и в случае изотропных сред. Однако скорость здесь зависит от так что определение направления распространения в кристалле становится более сложным В одноосном кристалле одна из оболочек обратной поверхности волновых нормалей является сферической и, значит, фазовая скорость одной из проходящих волн не зависит от Это и есть обыкновенная волна.

Для специального случая нормального падения (0, — 0) имеем , следовательно, обе волновые нормали в кристалле совпадают и направлены перпендикулярно к 2. Другой специальный случай, представляющий большой теоретический интерес, — распространение волны в направлении одной из. оптических осей двухосного кристалла. Возникающее при этом явление известно как коническая рефракция. Оно и рассматривается ниже.

б. Коническая рефракция. Выше мы отмечали, что когда в двухосном кристалле совпадает с одной из оптических осей волновых нормалей, соотношение между и имеет особенность. Прежде чем обсуждать явления преломления при распространении волн в данном, специальном, направлении, необходимо исследовать природу этой особенности.

В п. 14.2.3 мы показали, что векторы электрического смещения соответствующие направлению волновой нормали параллельны главным перпендикулярного эллиптического сечения эллипсоида волновых нормалей В специальном случае совпадения направления вектора с направлением оптической оси волновых нормалей, это сечение становится круговым, так что допустимо любое направление перпендикулярное к . Следовательно, в данном случае возможно бесконечное число направлений электрического вектора которые находят для каждого из (14.1.1)) и лучевых векторов (определяемых согласно рис. 14.1). Покажем, что все эти векторы лежат на конической поверхности.

Пусть — единичный вектор, направленный вдоль одной из. оптических осей волновых норма причем главные диэлектрические оси выбраны в соответствии с неравенством (5).

Тогда связаны соотношением (11), и допустимые векторы будучи перпендикулярны к удовлетворяют соотношению

Рис. 14.11. К определению положения лучей, соответствующих оптичссхон оси волновых нормалей в двухосном кристалле.

Переходя к компонентам соответствующих векторов Е, его можно переписать в виде

Пусть на рис. любая плоскость, перпендикулярная к и пусть прямая, на которой лежит вектор Е, пересекает ее в точке Р. Так как, согласно (25), все векторы Е должны лежать на плоскости А, перпендикулярной к вектору с компонентами то все возможные точки Р должны лежать на прямой по которой пересекаются плоскости П и . Пусть лучевой вектор компланарен с Е и и перпендикулярен к Е. Пусть векторы и пересекают плоскость II соответственно в точках Т и Тогда из подобия треугольников находим

Так как геометрическое место точек Р — прямая линия то геометрическим местом точек Т является кривая, обратная АВ, т. е. окружность, проходящая через центр инверсии с касательной в точке параллельной Следовательно, оптической оси волновых нормалей соответствует бесконечное число лучей, которые образуют коническую поверхность. Этот конус не круговой, так как центр круга не совнадаег с основанием перпендикуляра из точки О на плоскость П.

Если векторы лежат в плоскости то направление должно совпадать с направлением вектора к которому Е всегда перпендикулярен Если оно образует угол с осью то угол раствора конуса в этой плоскости определяется выражением

где использовано соотношение (11). Обычно так что получающийся конус очень мало отличается от кругового с углом

Точно так же можно показать, что лучевой оптической оси соответствует бесконечное число волновых нормалей, которые образуют коническую поверхность. Угол раствора этого конуса определяется соотношением, соответствующим (27), т. е.

Рис. 14.12. Коническая рефракция: построение конусов.

Полученные результаты удобно пояснить, прибегая к поверхности нормалей и лучевой поверхности и используя найденный в § 14.2.3 результат, указывающий, что поверхность нормалей представляет собой поверхность оснований перпендикуляров к лучевой поверхности. Сечение этих поверхностей плоскостью показано на рис. 14.12. Поверхность нормалей пересекает эту плоскость по окружности радиуса и овалу с полярным радиусом тогда как лучевая поверхность пересекает ее по той же окружности с и эллипсу с . Если окружность и овал пересекаются в точке то линия совпадает с направлением оптической оси волновых нормалей, а плоскость, проведенная через перпендикулярно к должна касаться лучевой поверхности во всех точках, в которых конус допустимых лучевых направлений пересекает ее. Таким образом, лучевая поверхность обладает необычным свойством: некоторые касательные плоскости касаются ее в бесконечном числе точек.

Лучевая оптическая ось совпадает с прямой где — точка пересечении двух оболочек лучевой поверхности; обе оболочки пересекаются таким образом, что в точке имеется бесконечное число касательных плоскостей, нормали к которым образуют коническую поверхность. Нормали к этим плоскостям, проведенные из точки О, образуют конус направлений волновых нормалей, соответствующих направлению луча Углы растворов обоих конусов также показаны на рис. 14.12. По причине, которая вскоре станет ясной, конус, принадлежащий к т. е. образованный такими лучами, как ОА, называется конусом внутренней конической рефракции. Конус, принадлежащий к т. е. образованный такими волновыми нормалями, как называется конусом внешней конической рефракции.

Рис. 14.13. Внутренняя коническая рефракция.

Возьмем пластинку двухосного кристалла, например арагонита, вырезанную так, что две ее параллельные грани перпендикулярны к оптической оси волновых нормалей. Если на такую пластинку нормально к одной из параллельных граней падает узкий пучок монохроматического света, то внутри пластинки энергия будет распространяться в полом конусе, конусе внутренней конической рефракции. При выходе с противоположной стороны световой пучок образует полый цилиндр (рис. 14.13). На экране, параллельном грани нашей кристаллической пластинки, следует ожидать появления яркого круглого кольца. Это замечательное явление было предсказано Вильямом Р. Гамильтоном в 1832 г., а через год его наблюдал Ллойд, исследовавший по предложению Гамильтона арагонит. Успех эксперимента послужил одним из наиболее четких подтверждений волновой теории света, развитой Френелем, и в очень сильной степени способствовал ее всеобщему признанию (см. «Историческое введение», стр. 17).

Практически демонстрация явления конической рефракции не так проста, как было описано выше, поскольку, конечно, невозможно получить строго параллельный пучок монохроматического света. В эксперименте нам всегда приходится использовать пучки с конечной угловой апертурой. В таком случае, как впервые показали Поггендорф [12] и Хайдингер [13], будут наблюдаться два ярких кольца, разделенных тонким темным кольцом (рис. 14.14). В первых экспериментах Ллойда эту структуру наблюдать не удалось, поскольку отверстия, ограничивающие ширину используемого им пучка, были слишком велики, и оба ярких кольца сливались в одно. Возникающую структуру не могли объяснить в течение долгого времени после ее открытия, пока [14] не предложил интерпретацию, которая в конечном счете сводится к следующему.

Рис. 14 14. Распределение света, возникающее вследствие конической рефракции.

Мы должны рассмотреть распространение волн, нормали которых слегка наклонены к оптической оси. Каждой из волновых нормалей соответствуют два луча внутри кристалла, и следует ожидать, что их направления мало отличаются от направлений образующих конуса внутренней конической рефракции. Чтобы найти распределение прошедших лучей, необходимо рассмотреть часть лучевой поверхности вблизи окружности, по которой она касается плоскости (см. рис. 14.12). Эта часть поверхности напоминает часть надутой автомобильной камеры, а касательная плоскость — плоскую доску, лежащую на ней. На рис. 14.15 показано сечение этой части поверхности плоскостью Две точки на лучевой поверхности, которые соответствуют направлениям двух лучей, относящихся к данному направлению волновой нормали определяются как точки касания этой поверхности двумя плоскостями, перпендикулярными к (см. рис. 14.15). Когда волновая нормаль слегка отклоняется от оптической оси, вместо одной касательной плоскости возникают две параллельные друг другу плоскости, одна из них при этом перемещается над лучевой поверхностью, причем точка касания движется от центра касательной окружности к точке Другая плоскость (ее невозможно показать на нашей модели, потому что она должна пересекать нашу камеру) перемещается так, что точка ее касания движется по направлению к точке С. Рис. 14.15 иллюстрирует это для смещения волновой нормали в плоскости но та же картина будет наблюдаться и при смещении в любом другом направлении.

Рис. 14.15. К определению положения лучей, относящихся к тем волновым нормалям, которые составляют небольшие углы с оптической осью волновых нормалей.

Из изложенных выше рассуждений следует, что каждая падающая волна, нормаль к которой образует небольшой угол с оптической осью, приведет к появлению пары лучей, составляющих углы и с осью конуса внутренней конической рефракции, где а — некоторая постоянная. Таким образом, вся энергия, сосредоточенная в падающем пучке в интервале углов от до окажется в двух конусах, половина угла раствора которых равна , а угловое расстояние между ними составляет Но соответствующая анергия в падающем пучке пропорциональна Отсюда следует, что при углах интенсивность в конусе лучей пропорциональна , в частности, при она равна нулю. Таким образом, нужно

ожидать появления двух ярких колеи с темным промежутком между ними, что и наблюдается.

Рис. 14.16. Внешняя коническая рефракция.

Внешняя коническая рефракция демонстрирует уже установленный ранге факт существования целого конуса направлений волновых нормалей, соответствующего данному направлению луча. Это явление наблюдалось на кристаллической пластинке, вырезанной так, что ее грани перпендикулярны к лучевой оптической оси. На гранях пластинки точно друг против друга находятся два небольших отверстия, одно из которых освещается сходящимся пучком света, как показано на рис. 14.16. Второго отверстия будут достигать лишь те лучи, направления которых очень близки к направлению лучевой оптической оси, так что нормали всех волн, достигающих второго отверстия, располагаются вблизи конуса внешней конической рефракции. Поэтому из кристалла будет выходить конус света. Из-за преломления при выходе из кристалла угол раствора этого конуса будет больше истинного угла внешней конической рефракции. И в данном случае на экране, параллельном грани кристалла, наблюдаются два концентрических кольца света, причем объяснение этого подобно, объяснению, данному в случае внутренней конической рефракции.