§ 3.3. Другие основные теоремы геометрической оптики

С помощью соотношений, полученных выше, выведем несколько теорем о поведении тхчей и волновых фронтов

3.3.1. Интегральный инвариант Лагранжа.

Сначала предположим, что показатель преломления является непрерывной функцией координат. Тогда,

если применить теорему Стокса к интегралу от нормальной компоненты взятому по любой открытой поверхности, получим (как и при выводе (3.2.16))

Интегрирование здесь проводится по замкнутому контуру С, ограничивающему указанную поверхность. Полученное соотношение называется интегральным инвариантом Лагранжа и означает, что интеграл

взятый между любыми двумя точками поля не зависит от пути интегрирования.

Рис. 3.10 К выводу интегральною инварианта Лагранжа при наличии у функции показателя преломления поверхности разрыва.

С помощью закона преломления легко показать, что формула (1) остается справедливой, если контур С пересекает поверхность, разделяющую две однородные среды с разными показателями преломления. Для доказательства положим, что контур С разделяется на части расположенные по разные стороны от преломляющей поверхности Т (рис. 3 10), а точки пересечения контура С с поверхностью Т соединены другой кривой К, лежащей на этой поверхности. Применяя (1) к обоим контурам и и складывая полученные уравнения, имее

Интеграл вдоль К равен нулю, поскольку вектор согласно закону преломления, нормален поверхности Т в любой точке кривой К, и, следовательно выражение (3) сводится к (1).