4.6.2. Преломление тонкого пучка.

Было показано, что Тонкий пучок лучей полностью характеризуется своим центральным лучом и двумя своими фокальными линиями.

Рис. 4.21 Фокальные линии волнового фронта с цилиндрической симметрией.

Рис. 4 22. Преломление тонкого астигматического пучка лучей.

Предположим, что такой пучок падает на преломляющую поверхность. Определим центральный луч и фокальные линии преломленного пучка. Рассмотрим случай, имеющий большое практическое значение, с именно случай совпадения одной из главных плоскостей падающего пучка а главной плоскостью кривизны преломляющей поверхности в точке О, в которой ее пересекает центральный луч (рис. 4.22).

Выберем декартову систему координат с началом в точке О, осью направленной по нормали к поверхности Т, и осями х и у, направленными по главным линиям кривизны поверхности Т.

Далее, пусть — углы, образованные центральными лучами и двух пучков и осью фокусы падающего пучка, расположенные

соответственно при . Предположим, что фокальная линия в перпендикулярна к плоскости падения; в этом случае называется первичным фокусом, а соответствующая фокальная линия первичной фокальной линией. Фокус называется тогда вторичным фокусом, а соответствующая фокальная линия (лежащая в плоскости падения) — вторичной фокальной линией. В случае центрированной систему первичный и вторичный фокусы пучка, центральный луч которого находится в меридиональной плоскости, называют соответственно тангенциальным и сагиттальным фокусами.

Для нахождения фокальных линий преломленного пучка необходимо прежде всего выписать выражение для угловой характеристики преломляющей поверхности. Если радиусы кривизны преломляющей поверхности в главных направлениях х и у равны то уравнение этой поверхности имеет вид

Тогда, согласно (4.1.34), угловая характеристика относительно системы координат с началом в О (при ) равна

Из закона преломления, учитывая лишь члены низших порядков, можно получить таким же способом, как и в § 4.1 (где рассматривался случай соотношения

Подстановка (3) в (1) дает

где

Подставляя теперь (3) и (4) в (2), получим требуемое выражение для угловой характеристики

Используя это соотношение в (4.1.29), получим уравнения для падающего и преломленного лучей в виде

соответствующие уравнения, содержащие координату у, совершенно аналогичны.

Исследуем теперь изменения различных величин при переходе от центрального луча к соседнему. Из (7) и (8) имеем

Лучевые компоненты центрального луча падающего пучка равны

так что

и

Здесь было использовано тождество ,

Уравнения (9) и (10) принимают вид

При выводе (15) использовался тот факт, что этот результат следует из закона преломления и предположения, что . Аналогичным образом получим

Рассмотрим теперь такие лучи пучка, которые проходят через фокус . Тогда . Поскольку все эти лучи пересекают также фокальную линию то Учитывая это, находим из (14) и (16)

и

Уравнение (14а) показывает, что соответствующие преломленные лучи лежат в плоскости Так как все лучи из проходят через фокус то уравнение (17) должно выполняться при для любого значения т. е.

Уравнения (16а) и (17а) при произвольном значении могут одновременно удовлетворяться только в том случае, если

Это соотношение определяет положение фокуса преломленных лучей. Из (14а) следует, что фокальная линия, проходящая через , перпендикулярна к плоскости , следовательно, яйляется первичным фокусом.

Для нахождения положения другого фокуса рассмотрим лучи, выходящие из . В этом случае Поскольку все эти лучи пересекают фокальную линию имеем Тогда из уравнений (14) и (16) находим

и

Из (16б) следует, что преломленные лучи лежат теперь в плоскости Все эти лучи проходят через второй фокус так что (15) должно удовлетворяться при для любого значения величины . Следовательно,

Поскольку как (156), так и (146) должны удовлетворяться при произвольном значении то

Полученное соотношение определяет положение вторичного фокуса

Часто оказывается удобным определять положение фокусов, задавая их расстояния до точки О, а не координаты Обозначая (на рис. 4.22 ), находим

а уравнения (18) и (19) принимают вид

и

Соответствующие соотношения для случая отражения можно получить, если в приведенных выше формулах положить