8.8.2. Распределение интенсивности.

Согласно (12), (13), (17) и (20) интенсивность близ фокуса определяется двумя эквивалентными выражениями, а именно

и

где

- интенсивность в геометрическом фокусе .

Из (15) следует, что

Таким образом, остается неизменной при замене и Значит, близ фокуса распределение интенсивности симметрично относительно геометрической фокальной плоскости. Конечно, распределение интенсивности симметрично также и относительно оси

По формулам (21) Ломмель рассчитал распределение интенсивности для ряда выбранных плоскостей, находящихся вблизи фокуса; он экспериментально подтвердил также некоторые свои расчеты. Линии равной интенсивности (называемые изофотами) вблизи фокуса, построенные по данным Ломмеля, приведены на рис. 8.39.

Особый интерес представляет «трубчатая» структура светлой центральной части дифракционного изображения, хорошо заметная на рисунке; ее существование лировалось на основании экспериментальных данных еще в Тейлором [921. Именно этой структурой изображения определяется допуск в положении плоскости изображения в системах, формирующих изображение. Ниже рассматриваются несколько интересных частных случаев.

а. Интенсивность в геометрической фокальной плоскости. Для точек, лежащих в геометрической фокальной плоскости, и и уравнение (21а) приводится к

Из уравнений, определяющих функции следует, что

поэтому

Как и следовало ожидать, мы получили формулу Эйри (8.5.14) для дифракции Фраунгофера на круглом отверстии.

б. Распределение интенсивности, вдоль оси. Для точек, лежащих на оси, и обе функции входящие в выражение (216), запишутся в виде

Следовательно,

Таким образом, интенсивность вдоль оси характеризуется функцией рассмотренной нами в в связи с дифракцией Фраунгофера на прямоугольном отверстии.

Рис. 8.39. Изофоты (линии интенсивности в меридиональной плоскости вблизи фокуса сходящейся сферической волны, дифрагировавшей на круглом отверстии [87]). Интенсивность в фокусе нормиоована к единице. Пунктирные линии показывают границу геометрической тени. При вращении рисунка вокруг оси и минимумы на оси вырисовывают темные кольца Эйри.

Первый нуль интенсивности на оси получается при т. е. на расстоянии от фокуса.

Обычно потеря интенсивности в центральном пятне изображения, достигающая 20%, считается допустимой. Так как уменьшается на эту величину при смещении плоскости изображения от положенйя до положения и то, следовательно, допуск на положение фокальной плоскости равен приблизительно

Например, при использовании пучка для света с длиной волны см этот допуск составляет около мм.

в. Интенсивность вдоль границы геометрической тени. Для точек на границе геометрической тени Распределение интенсивности симметрично относительно геометрической фокальной плоскости, и поэтому, не теряя общности, можно считать и положительным. Тогда функция сведется к

Напомним хорошо известное тождество Якоби (см., например, [25])

Полагая из сравнения с (28) находим

и (21а) сводится к

График этой функции показан на рис. 8.40.