§ 8.3. Теория дифракции Кирхгофа

8.3.1. Интегральная теорема Кирхгофа.

Основная идея теории Гюйгенса—Френеля заключается в том, что световое возмущение в точке Р возникает вследствие суперпозиции вторичных волн, испускаемых поверхностью, находящейся между этой точкой и источником света, Кирхгоф [3] придал этой

идее строгий математический вид и показал, что принцип Гюйгенса — Френеля можно считать приближенной формой определенной интегральной теоремы. В этой теореме решение однородного волнового уравнения в произвольной точке поля выражается через значения искомой величины и ее первой производной во всех точках произвольной замкнутой поверхности, окружающей точку Р.

Рассмотрим сначала строго монохроматическую скалярную волну

В вакууме ее часть, зависящая от координат, удовлетворяет волновому уравнению, не зависящему от времени,

где . Уравнение (2) называется также уравнением Гельмгольца.

Пусть — объем, ограниченный произвольной замкнутой поверхностью какая-нибудь точка внутри него; предположим, что имеет непрерывные частные производные первого и второго порядков внутри этого объема и на поверхности . Если — любая другая функция, удовлетворяющая таким же требованиям непрерывности, как то по теореме Грина получим

где означает дифференцирование вдоль внутренней нормали к поверхности . В частности, если V удовлетворяет также волновому уравнению, не зависящему от времени, т. е. если

то из (2) и (4) сразу же следует, что подынтегральное выражение в левой части обращается в нуль в каждой точке объема , следовательно,

Рассмотрим функцию где — расстояние от Р до точки . Эта функция имеет особенность при и так как предполагается, что непрерывна и дифференцируема, то, следовательно, точку Р нужно исключить из области интегрирования. Поэтому окружим ее небольшой сферой радиуса в и произведем интегрирование по объему, заключенному между и поверхностью этой сферы (рис. 8.2). Тогда вместо (5) получим

откуда

где — элемент телесного угла. Так как интеграл по не зависит от можно заменить интеграл в правой части (6) его предельным значением при Первый и третий члены в нем не дают вклада в этот предел, а полный вклад второго члена равен Следовательно,

Рис. 8.2. К выводу интегральной теоремы Гельмгольца — Кирхгофа; область интегрирования.

Это одна из форм интегральной теоремы Гельмгольца и Кирхгофа.

Заметим, что когда то не зависящее от времени волновое уравнение (3) сводится к уравнению Лапласа и (7) переходит тогда в хорошо известную формулу теории потенциала

Если Р лежит вне поверхности но — по-прежнему непрерывная и дифференцируемая до второго порядка функция внутри и если, как и раньше, принять то уравнение (3) остается справедливым по всему объему внутри . Тогда, согласно (5), интеграл по поверхности равен нулю.

Существует другая дополнительная форма теоремы Гельмгольца—Кирхгофа для случая, когда функция непрерывна и дифференцируема до второго порядка вне и на самой замкнутой поверхности (источники внутри). Однако в таком случае, как и в задачах, связанных с распространением света в бесконечной среде, одних граничных значений на уже недостаточно для получения однозначного решения. Здесь требуются еще дополнительные предположения относительно решения при .

До сих пор рассматривались только строго монохроматические волны. Теперь выведем теорему Кирхгофа в общем виде, пригодном и в случае немонохроматических волн.

Пусть — решение волнового уравнения

и его можно представить в виде интеграла Фурье

Тогда по формуле обратного фурье-преобразовапия

Так как предполагается, что удовлетворяет волновому уравнению (9), то удовлетворяет не зависящему от времени волновому уравнению (2). Если, кроме того, V подчиняется соответствующим условиям регулярности внутри замкнутой поверхности и на ней, то мы вправе применить формулу Кирхгофа отдельно к каждой фурье-компоненте , т. е. написать

Изменяя порядок интегрирования и полагая приведем (10) к виду

или, используя (10)

В квадратных скобках заключены «запаздывающие величины», т. е. значения функций, взятых в момент времени Формула (13) представляет собой теорелгу Кирхгофа в общем виде.

По аналогии с предыдущим случаем отметим, что если Р находится вне , то величина интеграла в (13) равна нулю.

Последний член в (13) представляет собой вклад в решение, обусловленный распределением источников с «силой» на единицу площади, а первые два члена — вклад от диполей «силой» на единицу площади, направленных нормально к поверхности. Естественно, что эти источники и диполи фиктивные и, следовательно, в такой интерпретации нет глубокого физического смысла.