8.6.2. Разрешающая сила систем, образующих изображение.

Дифракционная формула Фраунгофера (8.3.36) находит важное применение при вычислении разрешающей силы оптических систем. Понятие разрешающей силы было введено нами в п. 7.6.3 в связи с интерференционной спектроскопией. Выше мы оцепили разрешающую силу, которую можно достичь с решетками и призмами. Теперь мы распространим это понятие на оптические системы, образующие изображения.

Для спектральных аппаратов (например, для линейной решетки или интерферометра Фабри — Перо) разрешающая сила служит мерой способности прибора разделять две спектральные линии со слегка различающимися длинами волн. Для систем, образующих изображения, разрешающая сила является мерой способности прибора изображав раздельно две соседние точки объекта. Согласно законам геометрической оптики в отсутствие аберраций каждая точна объекта должна изображаться резкой точкой. Однако в результате дифракции она всегда будет иметь вид светлого пятнышка конечного размера. Если два таких пятнышка в изображении (дифракционные картины) начнут перекрываться, то чем ближе друг к другу центральные максимумы, тем труднее распознать наличие двух объектов. Предельное расстояние между двумя объектами, на котором глаз еще может обнаружить их существование, зависит в известной степени от опыта. Соответствующим проявлением фотографической пластинки можно увеличить контрастность изображения и тем самым увеличить предел разрешения. Тем не менее желательно иметь какой-нибудь простои критерий, позволяющий хотя бы грубо сравнивать относительную эффективность различных оптических систем. Воспользуемся снова критерием Рэлея, о котором говорилось в п. 7.6.3. Согласно этому критерию два изображения начнут разрешаться, если главный максимум одного совпадет с первым минимумом другого. Для спектральных аппаратов, для которых пределом разрешения служит некая разность длин волн разрешающая сила определялась как величина Для систем, образующих изображения, пределом разрешения является некоторое расстояние или некоторый угол 60, а разрешающая сила определяется их обратной величиной (т. е. ).

Рассмотрим сначала предел разрешения телескопа. Для удаленного объекта граница входного зрачка, совпадающая с круглой оправой объектива, действует как дифракционное отверстие. Если а — радиус апертуры объектива, то, согласно (8.5.16), положение первого минимума интенсивности относительно центрального максимума задается соотношением

Здесь синус угла между направлением и центральным направлением Обычно этот угол так мал, что его синус можно заменить самим углом, и тогда (на основании критерия Рэлея) получим, что угловое расстояние двух звезд, которые начинают разрешаться, равно .

При данном объективе угловой размер изображения, видимого глазом, зависит от увеличения окуляра. Однако, применяя окуляр с большим увеличением, нельзя выявить детали, которых нет в первичном изображении; в самом деле, каждый элемент такого изображения представляет собой небольшую дифракционную картину, а изображение, видимое в окуляр, является только увеличенным изображением совокупности этих картин.

Наибольший из существующих телескопов (в обсерватории Маунт Паломар) имеет зеркало диаметром . Если пренебречь небольшим экранированием в центре телескопа, то для света с длиной волны, соответствующей центральной части видимой области ( см), получим предел разрешения, равный

или угловое разрешение (в секундах)

В § 6.1 в качестве предельного разрешения глаза была принята величина в Г. Теперь можно оценить эту величину более точно. В зависимости от интенсивности света диаметр зрачка глаза изменяется примерно от 1,5 до 6 мм. Следовательно (снова принимая см), предел разрешения глаза находится в пределах

т. е.

или (в минутах и секундах)

До сих пор мы считали, что дифракционное отверстие имеет круглую форму. Значительный интерес представляет также кольцевое отверстие, так как во многих телескопах центральная часть круглого отверстия часто закрыта вторичным зеркалом. Предположим, что кольцевое отверстие ограничено двумя концентрическими окружностями с радиусами а и , где — некоторое положительное число, меньшее единицы. Распределение света в дифракционной картине Фраунгофера определяется интегралом вида (8.5.8), где интегрирование по производится только по области а. Тогда вместо (8.5.13) получим

а интенсивность задается соотношением

где — интенсивность в центре картины. Положение минимумов (нулей) интенсивности здесь определяется корнями уравнения

тогда как положение максимумов — корнями уравнения

При выводе последнего соотношения использовалось (8.5.15), как и в случае круглого отверстия. Для пеэкранированного отверстия первый корень (27), конечно, равен величине, определяемой выражением (24), а именно При увеличении первый корень (27) уменьшается; так, например, если то он становится немного меньше Так как главный максимум независимо от остается при то очевидно, что при загораживании центральной части отверстия разрешающая сила

возрастает. Ее увеличение сопровождается, однако, уменьшением яркости изображения; кроме того, в этом случае вторичные максимумы становятся более отчетливыми, что ведет к уменьшению контрастности. При первый вторичный максимум равен 0,10 главного максимума, тогда как для круглого отверстия он равен

Экранирование центральной части круглого отверстия соответствует замене функции зрачка (см. (8.3.39)) , равной С или в соответствии с или на равной С или в соответствии с или Конечно, можно изменить функцию зрачка и другим путем.

Общий метод ее изменения состоит в том, что на одну или несколько поверхностей системы наносится тонкая полупрозрачная пленка подходящего вещества. Такого же эффекта можно достичь с помощью специально сконструированных «филыров», например полой линзы соответствующей формы, наполненной поглощающей жидкостью. Здесь возникает задача определения вида функции зрачка, которая в некотором условном смысле давала бы наилучшее возможное изображение. Этот вопрос исследовался рядом ученых (см., например, 155]; хороший обзор исследований в этой области содержится в статье Вольфа [56]). Особый интерес представляет работа [57], где показано, что функцию зрачка можно выбрать так, чтобы радиус первого темного кольца был как угодно мал и в то же время темная зона, окружающая центральное кольцо, была бы сколь угодно велика. Однако постепенное уменьшение радиуса первого темного кольца приводит к постепенному уменьшению яркости центрального диска; отсюда следует, что наименьшие возможные размеры, а следовательно, и разрешающая сила ограничены количеством поступающего света.

Рис. 8 30. Влияние диафрагмирования центральной части отверстия на разрешающую силу (по [54])

Нормированные кривые интенсивности в дифракционном картине Фраунгофера 1 — круглое отверстие, 2 — кольцевое отверстие с ; - кольцевое отверстие с

Частичное подавление вторичных максимумов разумно выбранной функцией зрачка называется аподизацией. В спектроскопии это облегчает обнаружение сателлитов спектральных линий, а в астрономии — разрешение двойных звезд с сильно различающейся видимой яркостью.

Принятая теория разрешающей силы, кратко изложенная в настоящем разделе, особенно применима к прямым визуальным наблюдениям. При других методах наблюдения (например, при фотометрическом методе) часто удается обнаружить существование двух объектов с угловым расстоянием, значительно меньшим указанного критерием Рэлея. В связи с этим интересно также сравнить разрешающие силы телескопа и звездного интерферометра Майкельсона (см. п. 7.3.6). Если о существовании двух звезд судят по первому исчезновению полос, образованных в интерферометре, и если максимальное расстояние между внешними зеркалами последнего равно то, согласно (7.3.42), пользуясь таким прибором, можно обнаружить двойные звезду с угловым расстоянием между ними вплоть до Сравнение найденной величины с (24) показывает, что для обнаружения двойных звезд с таким разделением при визуальном наблюдении в телескоп необходимо, чтобы диаметр его объектива 2 а примерно равнялся