4.1.2. Смешанная характеристика.
Смешанная характеристическая функция 
определяется из уравнения
где суммируются три сходных члена с индексом 1.
Чтобы придать смешанной характеристике более наглядный физический смысл, мы, следуя Синджу, определяем ее со знаком, противоположным тому, который использовал Гамильтон Смешанную характеристику можно также определить соотношением 
где суммирование производится по сходным членам с индексом 
Функции 
и 
обладают, конечно, совершенно одинаковыми свойствами
Как мы видим, 
— функция девяти переменных, однако в общем случае только шесть из них независимы (в однородной среде — пять). Для доказательства последнего утверждения предположим, что точки 
сместились на небольшие расстояния. Соответствующее изменение 
дается выражением
Согласно (7)
Из (11) и (12) находим
Отсюда следует, что в общем случае 
является функцией шести переменных 
при этом
аналогичные выражения справедливы для 
та и 
Согласно (6) функция 
удовлетворяет уравнению эйконала
Рис. 4.2 К определению смешанной характеристики.
Отметим (рис. 4.2), что сумма имеет простое геометрическое истолкование, а именно
где 
проекция 
на касательную к лучу в точйе 
Если 
находится в однородной среде, то часть луча в окрестности 
совпадает с отрезком 
тогда, согласно (10) и (16), функция 
является оптической длиной луча от точки 
до основания 
перпендикуляра, опушенного из начала координат 
на выходящий из системы луч (рис 4 3), т. е.
Поскольку в этом случае показатель преломления среды около точки 
постоянен, из выражения (6) следует, что
а формула (13) после подстановки в нее (18) принимает вид
Следовательно, если у конца луча среда однородна, то смешанная характеристика шляется функцией пяти переменных
а ее производные удовлетворяют следующим соотношениям.
Отсюда вытекает, что если заданы точка на луче в первой среде и лучевые компоненты во второй среде, то» зная смешанную характеристику, можно сразу же определить лучевые компоненты в первой среде и точки на луче во второй среде.
Рис. 4.3. Интерпретация характеристичрских функций Гамильтона в случае однородных начальной и конечной сред 
