3.1.4. Обобщения геометрической оптики и пределы ее применимости.

Выводы предыдущих разделов относились к строго монохроматическому полю. Такое поле, которое можно рассматривать как фурье-компоненту произвольного поля, создает гармонический осциллятор или набор подобных осцилляторов с одинаковой частотой.

В оптике обычно имеют дело с источником, излучающим свет в узком, но конечном диапазоне частот. Такой источник можно рассматривать как набор, большого числа гармонических осцилляторов, частоты которых попадают в указанный диапазон. Для вычисления интенсивности света в какой-то точке Р необходимо просуммировать все поля, созданные каждым осциллятором (элементом источника), т. е.

Тогда интенсивность определяется (в вещественном представлении) соотношением

Во многих оптических задачах можно допустить, что вторая сумма в (51) равна нулю (в этих случаях говорят, что поля некогерентны), тогда

где вектор Пойитинга, соответствующий элементу источника. Сейчас мы еще не в состоянии выяснить условия, при которых оправдано пренебрежение вторым членом а формуле (51), однако мы это сделаем позже при рассмотрении частичной когерентности (см. гл 10).

Пусть — небольшая часть волнового фронта, соответствующего какому-то определенному элементу источника. Через проходят трубки лучей, исходящих от каждого элемента источника, центральные лучи этих трубок заполняют конус с телесным углом (рис. 3.4). Если угол раствора конуса

достаточно мал, то можно пренебречь зависимостью от направления и записать (52) в виде

Теперь положим, что число элементов (осцилляторов) настолько велико, что их распределение без существенной ошибки можно считать непрерывным. Вклад от каждого элемента бесконечно мал, однако суммарный эффект конечен.

Рис. 3.4. К выводу закона интенсивности в геометрической оптике для некогерентного источника конечных размеров.

В этом случае сумма (интеграл) пропорциональна , т. е. , и полный (усредненный по времени) поток энергии проходящий через элемент в единицу времени, равен

Последняя формула играет важную роль в фотометрии и будет использована позже.

Рассмотрим теперь кратко пределы применимости геометрической оптики. Уравнение эйконала было получено в предположении, что членами, стоящими в правых частях соотношений (11) и (12), можно пренебречь. Если допустить что безразмерные величины порядка единицы, то, как мы видим, пренебрежение указанными выше членами оправдано, когда изменения и на расстояниях, сравнимых с длиной волны, малы по сравнению с самими величинами и Это условие нарушается, например, на границах тени, так как там интенсивность (а следовательно, и резко меняется. Нельзя также ожидать, что геометрическая оптика даст правильное описание полей вблизи точек, где интенсивность имеет резкий максимум (например, в фокусе, см. § 88).

Уравнения переноса (41) и (42) для комплексных векторных амплитуд и были выведены в предположении, что функция удовлетворяет уравнению эйконала, а члены малы по сравнению с соответственно. Эти предположения накладывают некоторые дополнительные ограничения не только на первые, но и на вторые производные от и Соответствующие условия довольно громоздки, и мы их рассматривать не будем.

Можно, конечно, получить более точное приближение, оставляя в разложениях для полей некоторые члены более высоких порядков Однако практическая ценность такой процедуры для решения задач инструментальной оптики весьма сомнительна, поскольку чем ближе мы подходим к особым областям, тем больше членов в разложениях надо оставлять, а в точках, представляющих наибольший интерес (в фокусе или на каустической поверхности),

эти разложения, как правило, расходятся. Для изучения распределения интенсивности в таких областях более эффективны методы, которые будут рассмотрены в главах, посвященных дифракции.

Наконец подчеркнем, что простота геометрической оптики связана в основном с тем, что обычно в каждой точке поле представляет собой плоскую волну. В оптическом диапазоне частот области, в которых простая геометрическая модель оказывается несправедливой, встречаются весьма редко; фактически в большинстве оптических задач эта модель дает по крайней мере хорошее нулевое приближение для более тонкого исследования.