§ 10.6. Некоторые теоремы, касающиеся взаимной когерентности

В §§ 10.4 и 10.5 мы рассматривали интерференцию и дифракцию квазимонохроматического света и ограничивались случаем времени задержки малом по сравнению с временем когерентности света. Мы показали, что при этом с хорошей точностью зависимость корреляционных функций от представлена только гармоническим членом, т. е. что

Рис. 10.15 Эффективная область интегрирования (заштрихована) для взаимного коэффициента пропускания отображающей системы с круглым выходным зрачком радиуса а. Предполагается, что объект освещается проходящим квазимонохроматическим светом со средней длиной волны через конденсор с числовой где - числовая апертура отображающей системы. С и радиуса с центрами в точках соответственно, С — круг радиуса с центром в начале координат, - радиус опорной сферы Гаусса, М - гауссово увеличение.

Элементарная теория, использующая это приближение, позволяет учесть уменьшение видности в «центре» картины обусловленное конечными размерами источника света. Однако она не принимает во внимание изменения видности с увеличением разности хода. Для правильного описания явлений в случае, когда временем задержки нельзя пренебречь по сравнению с временем когерентности, необходимо использовать более точные выражения для корреляционных функций. Ниже мы рассмотрим соответствующее обобщение некоторых формул.

10.6.1. Расчет взаимной когерентности для света от некогерентного источника.

Пусть возмущения в точках Р, и волнового поля, созданного протяженным (не обязательно квазимонохроматическим) первичным источником а. Вначале будем считать, что среда между а и точками однородна.

Как и в п. 10.4.2, предположим, что источник разделен на элементы линейные размеры которых малы по сравнению с эффективными длинами воли, а центры находятся близ точек . Если вклады в вносимые элементом , то

и взаимная функция когерентности определяется выражением

В правой части (2) мы пренебрегли членами типа , так как можно полагать, что вклады, вносимые различными элементами источника, взаимно иекогерентны.

Мы поступим далее несколько иначе, чем в § 10.4. Согласно (10.3.30) каждый член под знаком суммы в (2) можно представить в виде

где

взаимная спектральная плотность возмущений Здесь — вклад соответствующей частоты в возмущение, создаваемое элементом . Этот вклад распространяется в виде сферической волны, поскольку предполагается, что среда однородна. Следовательно,

где — расстояния между точкой источника и точками (предполагается, что эти расстояния велики по сравнению с эффективными длинами волн), а Амплитуда величины определяет «силу» компоненты с частотой от элемента ее фазу. Из (4) и (5) следует, что

Величина, стоящая в фигурных скобках в правой части, является спектральной плотностью света, идущего от элемента источника. Предположим, как и в п. 10.4.2, что число элементов источника настолько велико, что его можно считать непрерывным. Следовательно, если т. e. если интенсивность на единицу площади источника в единице частотного интервала, то, согласно (2), (3) и (6), имеем

где

— интенсивности в точках а — расстояния от этих точек до точки источника Уравнения (7) служат обобщенной формой формул Ван-Циттерта — Цернике и (10.4.21),

Если среда между источником и точками и Р., неоднородна, мы можем поступить так же, как в § 10.4, а именно заменить множители на , где К — соответствующая функция пропускания среды. Тогда вместо (7) мы получим

где

По аналогии с преобразованиями, используемыми в § 10.4, перепишем (9) или (10) в несколько иной форме. Пусть

Тогда (9) и (10) примут вид

где

В формуле (12), которая является обобщением формулы Гопкинса (10.4.35), взаимная функция когерентности и комплексная степень когерентности выражены через распределение света, создаваемое ассоциированным воображаемым источником. В самом деле, согласно (11) величину можно рассматривать как возмущение в точке Р, обусловленное находящимся в точке 5 монохроматическим точечным источником с частотой нулевой фазой и «силой», пропорциональной