4.1.4. Приближенное выражение для угловой характеристики преломляющей поверхности вращения.

Пусть

где постоянные, является уравнением преломтяющей поверхности вращения, отнесенным к декартовой системе координат, начато которой О совпадает с осевой точкой (называемой полюсом) поверхности, а ось направлена вдоль оси симметрии Если через обозначить радиус кривизны поверхности у полюса (считающийся положительным, когда поверхность обращена выпуклостью к свету, распространяющемуся вдоль положительного направления оси ), то

Рис. 4.4 Угловая характеристика преломляющей поверхности вращения Точки но обязательно компланарны

Для сферической поверхности радиуса имеем 1/8г. В случае произвольной поверхности вращения можно написать

где константа (иногда называемая коэффициентом деформации) служит грубой мерой отктонения формы поверхности от сферической Уравнение (30), выраженное через принимает вид

Пусть по обе стороны от поверхности вращения среды оротны и обладают показателями преломления Отнесем харамеристику к координатным системам, оси которых параллельны осям системы с началом в точке О, а начала расположены в осевых точках . Если Р — точка пересечения падающего луча с преломляющей поверхностью, и — основания перпендикуляров, опущенных из на падающий и преломленный лучи, то, согласно (26), угловая характеристика Т равна

— координаты точки Р в системе координат началом в О, а — лучёвые компоненты падающего и преломленного в точке Р лучей.

Координаты можно исключить из (34) с помощью закона преломления, Закон преломления, согласно эквивалентен утверждению, что

вектор нормален к преломляющей поверхности, в точке Р. Следовательно, если (33) записать виде

то

Из этих уравнений следует, что

где — величины третьего порядка по . Подставляя (37) в (35), получим формулу для выраженную через лучевые компоненты:

Для нахождения разложения Т с точностью до членов четвертого порядка включительно нет необходимости вычислять величины , так как после подстановки (37) и (38) в (34) члены, содержащие оказываются более высокого, чем четвертый, порядка малости, и поэтому ими можно пренебречь. В результате (34) принимает вид

Выражение (39) является разложением угловой характеристики до членов четвертого порядка включительно, причем эта характеристика рассматривается как функция всех шести лучевых компонент. Две компоненты можно исключить с помощью равенства (6). Из (6) найдем

и, следовательно,

Подставляя это в (39), получим

Как мы видим, четыре переменные входят в это выражение только в комбинациях

Можно показать в более общем виде, что угловая характеристика любой среды, вращательно симметричной относительно оси зависит от четырех переменных, входящих только в грех комбинациях (43). Для доказательства этого используем результат, полученный ниже, в § 5.1, согласно когорому любая функция инвариантная относительно вращения осей вокруг началу координат в плоскости зависит только от величин трех скалярных произведений

двух векторов . Считая и проекциями векторов распространения и на плоскости получим требуемый результат.

Подставляя (43) в (42) и выделяя члены одного порядка, получим окончательно

где

и