§ 8.8. Трехмерное распределение света вблизи фокуса

В п. 8.3.3 было показано, что распределение света в фокальной плоскости хорошо коррегированной линзы обусловлено по существу дифракцией Фраунгофера на ее оправе. В § 8.5 были подробно изучены картины дифракции Фраунгофера от отверстий различных форм. Для того чтобы получить более точное представление о структуре оптического изображения, следует изучить распределение света не только в геометрической фокальной плоскости, но и вблизи этой плоскости. Представление о трехмерном (Френель) распределении свега вблизи фокуса имеет особенно важное значение для оценки величины допуска в требуемом положении плоскости изображения систем, формирующих изображение.

Особенности внефокальных монохроматических изображений точечного источника, полученных с помощью круглого отверстия, были впервые подробно рассмотрены в классическом труде Ломмеля [76]. Пользуясь интегралом Гюйгенса — Френеля ему удалось представить комплексное возмущение в виде сходящегося ряда функций Бесселя, а также экспериментально подтвердить явления, предсказанные на основании этих расчетов, Почти одновременное Ломмелем Струве 178] опубликовал подобное, хотя и менее исчерпывающее исследование, посвященное дифракции на круглом отверстии. Он не получил таких подробных численных решений, но дал полезный метод приближенного расчета интенсивности вблизи границы геометрической тени, где ряды сходятся довольно медленно. Несколькими годами позже Шварцшильд [79] вывел асимптотическое приближение для точек наблюдения, находящихся на расстоянии многих длин волн от фокуса.

Исследования Ломмеля и Струве не привлекли особого внимания, и в 1909 г. эта задача снова была исследована Дебаем [80]. Дебай установил определенные общие особенности дифракционного поля и вблизи и вдали от фокуса. Сравнительно недавно исследования перечисленных выше авторов были расширены и были опубликованы диаграммы, показывающие подробную структуру поля в этой комплексной области. Результаты проведенных исследований получили широкое экспериментальное подтверждение как в оптическом, так и в микроволновом (короткие радиоволны) диапазонах.

Рассматривая распределение света вблизи фокуса, мы будем основываться на исследованиях Ломмеля и Струве, но для удобства и наглядности начнем с интегрального представления поля в виде, предложенном Дебаем.

8.8.1. Вычисление дифракционного интеграла в функциях Ломмеля.

Рассмотрим сферическую монохроматическую волну, выходящую из круглого отверстия и сходящуюся в осевой фокальной точке О. Рассмотрим возмущение в произвольной точке Р близ О. Положение точки Р относительно О определяется вектором Предполагается, что расстояние и радиус отнерстия малы по сравнению с радиусом волнового фронта который в какой-то момент заполняет это отверстие (рис. 8.38).

Обозначим через расстояние от точки наблюдения Р до точки на а через — амплитуду в точке падающей волны; тогда, применяя принцип Гюйгенса—Френеля, получим

Поскольку рассматриваются лишь небольшие углы падения, вариации коэффициента наклона по волновому фроьту пренебрежимо малы Обозначая через единичный вектор в направлении находим с хорошим приближением

Далее элемент волнового фронта равняется

где - элемент телесного угла, под которым виден из точки О. Без заметной ошибки можно заменить в знаменателе подынтегрального выражения и тогда уравнение (1) запишется в виде

Теперь интегрирование производится по всему телесному углу Я, под которым отверстие видно из фокуса Уравнение (4) представляет собой интеграл Дебая и выражает поле как результат суперпозиции плоских волн, распространяющихся во всех направлениях (определяемых векторами попадающих в

Рис. 8.38 К дифракции на круглом отверстии сходящейся сферической волны

Перед тем как вычислять интеграл Дебая, отметим интересное обстоятельство, будучи с элементарных решений (плоских волн), он представляет строгое решение волнового уравнения и в предельном случае (отверстие на бесконечном расстоянии) справедливо во всем пространстве. Конечно, (4) нельзя считать строгим решением нашей исходной задачи, так как здесь не учтена природа экрана, а точные граничные условия аппроксимируются граничными условиями дифракционной теории Кирхгофа. Точное решение нашей задачи должно содержать не только вклады от плоских цолн, распространяющихся в направлении падающих геометрических лучей, но и вклады от волн, распространяющихся во всех возможных направлениях. Однако при выполнении упомянутых выше условии значительны только вклады от волн, учтенных в уравнении (4).

Для вычисления (4) представим подынтегральное выражение в более явном виде Примем за начало декартовых координат точку О и за ось — линию Пусть — координаты точки Р, а — координаты точки Положим, кроме того, что

Так как точка лежит на сферическом волновом фронте имеем

Следовательно,

Полезно на этом этапе ввести безразмерные переменные и и которые вместе с определяют положение Р, а именно

Заметим, что точка Р лежит в прямом пучке света или в геометрической тени, смотря по тому, будет ли

Из (7) и (8) следует, что если члены с в степени, превышающей вторую, пренебрежимо малы по сравнению с единицей, то

Кроме того, элемент телесного угла равен

Поэтому (4) принимает вид

Интеграл по мы уже встречали, рассматривая дифракцию Фраунгофера на круглом отверстии (см. п. 8.5.2), Он равен , где — функция Бесселя нулевого порядка. Следовательно, последнее соотношение можно записать как

Рассмотрим по отдельности вещественную и мнимую части интеграла. Положим, что

где

Эти интегралы можно вычислить в функциях Ломмеля

введенных им для этой цели Используя соотношение (8.5.11)

можно записать после интегрирования по частям в виде

Используя опять соотношение (8.5.11), интегрируя по частям и продолжая этот процесс, получим

Таким же способом найдем

Эти формулы справедливы во всех точках близ фокуса, но удобны для вычислений, только если т. е. когда точка наблюдения лежит в геометрической тени. При т. е. когда точка наблюдения находится в освещенной области, более целесообразно применять разложения, содержащие положительные степени . Их можно вывести аналогичным способом с помощью интегрирования по частям относительно тригонометрического члена. Первый этап дает

здесь использовано соотношение Снова интегрируя по частям и используя последнее соотношение совместно с хорошо известной формулой (которая выводится из разложения в ряд

получим

Ряд, написанный в первых двух строчках, содержит две функции Ломмеля и третья строчка представляет собой разложение в ряд . Следовательно,

Аналогичным образом получим для другого интеграла выражение

Этим завершается формальное решение нашей задачи. Далее мы обсудим некоторые выводы из него.