2.4.3. Рассмотрение преломления и отражения плоской волны с помощью теоремы погашения Эвальда — Озеена.

Применим теперь теорему погашения Эвальда — Озеена, выраженную формулой (23), к случаю плоской монохроматической волны, входящей в однородную среду, которая заполняет полупространство . Покажем, что из этой теоремы вытекают законы преломления и отражения, а также формулы Френеля.

Падающую волну запишем в форме

где - постоянный вектор и — единичный вектор в направлении распространения.

Рис. 2.4. Проникновение волны в однот родную среду, рассматриваемую как си» стема диполей.

Выберем ось так, чтобы она проходила через точку наблюдения которую мы вначале считаем находящейся внутри среды на расстоянии от границы (рис. 2.4). Ось х выбираем так, чтобы вектор лежал в плоскости Следовательно, обозначая угол падения через , мы получим

В соответствии с результатами предыдущего раздела, предположим, что прошедшая волна имеет ту же частоту, что и падающая, но другую скорость , где выражается через поляризуемость и плотность с помощью формулы Лорентц — Лоренца. В качестве пробного решения для прошедшей волны выберем плоскую волну, распространяющуюся в направлении единичного вектора который, по предположению, лежит в плоскости

Тогда выражение (28) примет вид

где постоянный вектор, который, согласно (11), ортогонален

Решение интегро-дифференциального уравнения легко получить, если рассматривать лишь точки наблюдения отстоящие от границы на расстояниях, больших по сравнению с длиной волны, т. е. если

Это условие наложено лишь для упрощения расчетов и не соответствует ограничению физической обоснованности интегро-дифференциального уравнения.

Производные, входящие в интеграл по , теперь имеют вид

Последним членом в (366) можно пренебречь из-за условия (35), и интеграл,

входящий в (23), записывается следующим образом:

Компоненты векторов и равны (см. рис. 2.4)

следовательно,

Интеграл (37) после подстановки примет вид

Удобно ввести угол и соответствующий единичный вектор определяемые выражениями

Так как, по предположению, велико по сравнению с единицей, показатель степени экспоненциального члена в (39) также велик по сравнению с единицей и этот член будет быстро осциллировать и много раз менять знак, когда точка будет пробегать область интегрирования. При таких условиях хорошее приближение к значению получается путем применения следующей формулы, которая является следствием принципа стационарной фазы (см. приложение 3):

Здесь — точки в области интегрирования для которых постоянна,

а

Если использовать соотношения (40) и (41), то в данном случае мы получим

и, следовательно,

Для постоянства необходимо, чтобы

Следовательно, как легко показать (отметим, что при вычислении частных производных необходимо брать положительный квадратный корень), будет постоянна, только если

где

В этой точке выражения (43) и (44) принимают следующие значенияг

Теперь (42) примет вид

так что (39) равно

Подставив теперь это выражение в интегро-диффсренциальное уравнение (23), которое выражает погашение падающей волны, получим

Следовательно, (23) перейдет в

Это соотношение должно тождественно выполняться для всех точек на границе. Следовательно,

и

Уравнение (49) выражает закон преломления (1.5.8). В самом деле, он означает, что

или, в соответствии с (40),

Более того, соотношения (41) и (32) показывают, что вектор лежит в плоскости, определяемой вектором и нормалью к границе

Уравнение (50) связывает амплитуды падающей волны (31) и прошедшей врлны (34). Обозначая амплитуду (векторную) прошедшей волны через

и раскрывая тройное векторное произведение, получим вместо (50)

Пусть составляющие в направлениях, перпендикулярном И параллельном плоскости падения. Тогда, вспоминая, что вектор ортогонален а То ортогонален и что составляют друг с другом угол найдем из (54)

В этих соотношениях мы узнаём формулы Френеля для преломления (см. (1.5.20а)).

Наконец, рассмотрим случай, когда точка наблюдения находится вне среды Расчеты совершенно аналогичны, только теперь в соответствующих формулах следует заменить на . Это эквивалентно замене в (46г), т. е. замене на , где

Вместо единичного вектора введем теперь единичный вектор с компонентами

и получим вместо (47) соотношение

Из выражения (30) дляне зависящей от времени части отраженной волны находим

Выражение (59) представляет плоскую волну, распространяющуюся в направлении, определяемом единичным вектором причем это направление связано, с направлением падающей волны соотношением Соотношение (56) выражает закон отражения в согласии с (1.5.7). Амплитуда отраженной волны, выраженная через амплитуду прошедшей, записывается в виде

Обозначая через и составляющие в направлениях, перпендикулярном и параллельном плоскости падения, и используя (55), получим

и

Соотношения (6.1) совпадают с формулами Френеля для отражения (1.5.21а),

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)