1.6.5. Периодические слоистые среды.

Слоистая периодическая среда с периодом характеризуется диэлектрической проницаемостью и магнитной проницаемостью зависящими только от они имеют вид

где любое целое число из некоторого фиксированного интервала

Пусть — характеристическая матрица, соответствующая одному периоду, Запишем

В этом случае, в соответствии с с учетом периодичности среды, получим

Для определения элементов матрицы воспользуемся результатом, полученным в теории матриц, согласно которому степень унимодулярной матрицы равна

где

а — полиномы Чебышева второго рода:

Эти полиномы удовлетворяют следующим условиям ортогональности и нормировки:

Для удобства выпишем явиом виде первые шесть полиномов;

Многослойная система обычно состоит из чередующихся однородных слоев с низким и высоким показателями преломления и толщинами расположенных между двумя однородными средами с показателями преломления (рис. 1.20).

Рис. 1.20. Периодическая многослойная система.

Мы снова считаем среду немагнитной и полагаем

Согласно (39) и (41) в этом случае характеристическая матрица одного периода имеет вид

Следовательно, в соответствии с (81) характеристическая матрица многослойной системы (с полным числом пленок определяется следующими формулами, полученными Абеле:

где

и

Коэффициенты отражения и пропускания многослойной системы сразу же получаются при подстановке этих выражений в (49) и (50).

Особый интерес представляет случай, когда два основных слоя имеют одну и ту же оптическую толщину (обычно ), т. е. когда

и падение нормально . Тогда

если эту общую для обоих слоев величину обозначить через то аргумент полиномов Чебышева примет вид

Видно, что величина а не может превышать единицу, но для некоторых значений она может стать меньше этом случае — мнимая величина, а так как для любого

то, следовательно, будет вести себя как экспонента. Отсюда следует, что отражательная способность такой многослойной системы быстро увеличивается с ростом числа периодов.

Для четвертьволновых пленок при нормальном падении (вновь считая среды немагнитными) имеем

и (86) переходит в

Характеристическая матрица (87) многослойной системы, основным периодом которой служит такой двойной слой, имеет вид

что можно подтвердить, умножая матрицу (94) саму на себя раз. Согласно (49) и (50) отражательная способность рассматрираемой системы равна

Отсюда следует, что для фиксированного числа двойных слоев N отражательная способность увеличивается при увеличении , а для фиксированного значения этого отношения увеличивается с ростом

Иногда, например, при покрытии пластин интерферометра Фабри-Перо (см. § 7.6) слои располагают так, что их показатели преломления образуют следующую поеледовашльшегь. Характеристическая матрица такой многослойной системы равна

где определяется выражением (87), а М — характеристическая матрица последней пленки этого ряда.

Для четвертьволновых пленок при нормальном падении переходит в (95), и (97) примет вид

Таблица 1.3. Отражательная способность многослойных систем, состоящих из периодической совокупности четвертьволновых пленок сернистого цинка и криолита, при нормальном падении

Подстановка в (49) и (50) даст отражательную способность

Как мы видим, отражательная способность быстро увеличивается с увеличением отношения и (см. табл. 1.3).

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)