13.5.2. Некоторые следствия из формул Ми.

а. Парциальные волны. Из выражений (58) видно, что амплитуды радиальных компонент рассеянной волны уменьшаются обратно пропорционально квадрату расстояния от рассеивающего центра, тогда как амплитуды остальных компонент уменьшаются более медленно, обратно пропорционально первой степени этого расстояния. На достаточно больших расстояниях в радиационной, или волновой, зоне радиальными компонентами можно пренебречь по сравнению с тангенциальными, т. е. в этой области волны поперечны.

Полученные формулы показывают, что рассеянная волна состоит из сферических гармоник разных порядков. Эти гармоники называются парциальными волнами, и их амплитуда определяется абсолютными значениями комплексных коэффициентов которые зависят от природы обеих сред и от отношения радиуса рассеивающей сферы к длине волны падающего света.

Рис. 13.8 Магнитные силовые линии четвертой электрической парциальной волны.

Каждая парциальная волна состоит из электрической части с амплитудой и магнитной части с амплитудой Магнитные силовые линии электрической парциальной волны и электрические силовые линии магнитной парциальной волны целиком лежат на концентрических сферических поверхностях, так как для первой волны для второй —

Рассмотрим произвольную парциальную волну, например 1-ю электрическую волну. Мы видим, что соответствующие компоненты равны нулю В точках, где обращаются в нуль либо либо . Аналогично исчезают там, где либо либо равны нулю. Внутри интервала функция обращается в нуль I раз, а фуикция обращается в нуль раз и отличается от нуля при или При все компоненты поля обращаются в нуль 21 раз, т. е. всего раза. Поскольку магнитные силовые линии должны быть замкнутыми кривыми и, как мы видели, они целиком расположены на концентрических сферических поверхностях с центром в начале координат, то ясно, что каждая из 21 нулевых точек на окружности с или оказывается центром семейства таких линий, а каждая из нулевых точек на окружности будет нейтральной точкой. Силовые линии обходят эти нейтральные точки, подобно тому, как два семейства равнобочных гипербол с общими асимптотами обходят их общий центр.

На рис. 13.8 показаны магнитные силовые линии четвертой электрической парциальной волны. Отчетливо видны две группы точек; точки первой группы лежат в плоскости (плоскость рисунка), точки второй — в плоскости

На рис. 13.9, а для первых четырех электрических парциальных волн приведены проекции на плоскость их магнитных силовых линий, которые расположены на одной из полусфер, находящихся с любой стороны плоскости . В волновой зоне электрические силовые линии ортогональны к магнитным линиям, так как, согласно (58), для каждой парциальной волны (электрической

или магнитной) справедливо соотношение

Проекции электрических силовых линий на плоскость показаны на рис. 13.9, б.

Аналогичные результаты получаются и для магнитных парциальных волн, за исключением того, что соэф и меняются местами. Соответствующие проекции электрических силовых линий, расположенных на сфере, для магнитных парциальных волн легко найти, поворачивая рисунки на угол вокруг оси

Рис. 13.9 Силовые линии первой второй третьей и четвергом (IV) электрических парциальных воли [19] а - магнитные силовые линии, б - электрические силовые линии

б. Предельные случаи Ниже мы исследуем относительную роль различных парциальных волн Общий случай и произвольны) не поддается простому аналитическому рассмотрению, и поэтому мы подробно обсудим лишь два предельных случая, а именно, когда радиус сферы зелик по сравнению с длиной волны и когда он значительно меньше длины волны

1 В этом случае наше решение по существу должно давать те же результаты, что дифракционная теория Гюйгенса—Кирхгофа или даже (при геометрическая оптика.

Если ограничиться порядками I, значительно меньшими и то можно использовать асимптотические приближения (73) — (76). Имеем

коэффициенты (62) запишутся в виде

Отметим, что эти коэффициенты являются быстро осциллирующими функциям» и так что небольшое изменение в или I может вызвать сильное изменение в . Видно также, что величины одного порядка, т. е. амплитуда электрической парциальной волны с номером имеет тот же порядок величины, что и амплитуда магнитной парциальной волны следующего, более высокого номера.

Формулы (81) получены в предположении, что I значительно меньше и поэтому в таком приближении нельзя определить число парциальных волн, вносящих заметный вклад в рассеянное поле. Дебай [29] получил асимптотические приближения, справедливые для всех порядков, и показал, что амплитуды парциальных воли быстро уменьшаются до нуля как только превзойдет так что следует оставлять только первые членов.

Если диэлектрическая проницаемость или проводимость сферы очень велицм выражения для принимают вид

Их проще всего получить из (63) с помощью асимптотических приближений (73) — (76).

Результаты настоящего раздела можно применить в теории радуги [30, 31]; параметр определяемый размером дождевых капель, порядка .

II. Этот случай имеет большое практическое значение при изучении микроскопических и субмикроскопическпх частиц в коллоидных растворах. Мы можем теперь использовать разложения в степенные ряды (68) — (72) для цилиндрических функций. Ограничиваясь наиболее существенными членами, получим

Если проводимость или диэлектрическая проницаемость очень велики, из (63) найдем

До тех пор, пока проводимость остается конечной (формулы (83)), коэффициенты пропорциональны величине в одной и той же степени, т. е. амплитуды электрической и магнитной парциальных волн, как и в случае, когда — величины одного порядка. Если радиус сферы так мал, что величиной можно пренебречь по сравнению с единицей, необходимо учитывать лишь первую электрическую парциальную волну; ее амплитуда и фаза определяются комплексной амплитудой

Поскольку — комплексная величина, между падающим первичным полем и рассеянным вторичным полем существует разность фаз.

В другом предельном случае как мы видим из (84), амплитуды 7-й электрической и магнитной парциальных волн — величины одного порядка.

Рассмотрим теперь поле первой электрической парциальной волны на большом удалении от сферы при конечном . Воспользуемся асимптотическим приближением

и соотношениями

где штрих означает дифференцирование по тогда из (58) получим

Легко показать, что уравнения (88) идентичны уравнениям для волновой зоны электрического диполя в точке 0 с моментом , где

колеблющегося параллельно оси х, т. е. параллельно электрическому вектору первичного падающего поля. Чтобы показать это, предположим вначале, что внешняя среда — вакуум и возвратимся к уравнениям (2.2.53) и (2.2.54), Согласно этим уравнениям радиационное поле линейного электрического диполя с моментом в вакууме определяется выражениями

Здесь — радиус-вектор точки наблюдения. Множитель, зависящий от времени опущен. Из (90) следует, что если направление вектора совпадает с направлением оси х, то компоненты векторов Е и Н имеют вид

Если преобразовать эти выражения к сферическим координатам в соответствии с правилом (8) и подставить для его значение (89), то мы получим соотношения (88) . В более общем случае, когда вместо (91) необходимо рассматривать соответствующие выражения для радиационного поля диполя в диэлектрике. Эти выражения, которые можно получить так же, как и выражения (91), также преобразуются в (88) при переходе к сферическим

координатам. Отметим, что показатель преломления сферы входит в выражение (89) для эквивалентного момента диполя лишь в комбинации диэлектриков вещественно) мы уже встречались с этим выражением в теории молекулярной рефракции (см. (2.3.17)).

Согласно (88) амплитуда обратно пропорциональна квадрату длины волны, и поэтому интенсивность рассеянного света обратно пропорциональна ее четвертой степени. В таком случае мы говорим о рэлеевском рассеянии.

Подобным же образом через колебания магнитного диполя можно выразить первую магнитную парциальную волну. Парциальные волны более высоких порядков можно считать результатом колебаний мультиполей, но здесь мы не будем останавливаться на этом.

в. Интенсивность и поляризация рассеянного света. Вновь возвратимся к общему случаю и кратко исследуем интенсивность и поляризацию рассеянного света. Так как нас интересуют лишь относительные значения интенсивностей, мы вправе взять в качестве меры интенсивности квадрат вещественной амплитуды электрического вектора. Мы будем рассматривать поле лишь на больших расстояниях от рассеивающего центра и поэтому подставим в (58) асимптотические значения функции Положим также

Тогда

Определим плоскость наблюдения как плоскость, в которой лежат направление распространения падающего света и направление наблюдения. Согласно (4) и представляет собой угол между этой плоскостью и направлением колебаний электрического вектора падающей волны. На основании (93) либо либо равно нулю, когда или поэтому рассеянный свет линейно поляризован, если плоскость наблюдения параллельна или перпендикулярна первичным колебаниям. Поскольку отношение комплексно, в любом другом направлении свет в общем случае поляризован эллиптически. Однако в частном случае рэлеевского рассеяния (см. отношение всегда вещественно и, следовательно, рассеянный свет линейно поляризован при всех направлениях наблюдения.

На практике мы обычно имеем дело с рассеянием естественного света. Соответствующие формулы для этою случая, как и в § 1.5, можно получить из формул для поляризованного света с помощью усреднения по всем направлениям поляризации. Обозначая усреднение чертой и учитывая, что мы получим вместо (93) соотношения

В общем случае ни ни не равны нулю, так что рассеянный свет частично поляризован. По аналогии с (1.5.42) степень поляризации Р рассеянного света можно определить как

Неполяризовацная доля рассеянного света тогда равна

Зависимость интенсивности и поляризации рассеянного света от направления рассеяния и от физических параметров исследовали на основе теории многие авторы, однако здесь мы можем лишь кратко суммировать некоторые основные результаты.

Рис. 13.10. Полярные диаграммы для рассеяния линейно поляризованного света сферической частицей золота [45].

На рис. 13.10 и 13.11 показана зависимость интенсивности, а также неполяризованной доли рассеянного света от угла йаблюдения 0 для диэлектрической и металлической сфер различных размеров. Длина радиуса-вектора для внешних кривых пропорциональна — а для внутренних кривых, если не оговорено особо, Единицы измерения произвольны и различны для каждого рисунка. Анализ этих полярных диаграмм, а также других опубликованных данных позволяет сделать следующие общие выводы.

За исключением очень большой проводимости или диэлектрической проницаемости (при этом большая часть падающего света излучается в обратном направлении, т. е. «отражается», полярные диаграммы в предельном случае исчезающе малых сфер симметричны относительно плоскости, проходящей через центр сферы и перпендикулярной к направлению распространения падающего света. Интенсивность рассеянного света достигает максимума как в направлении, совпадающем с направлением падающего света так и в обратном направлении и имеет минимум в плоскости

симметрии При увеличении радиуса сферы наблюдаются отклонения от симметрии, причем в направлении падения рассеивается больше света, чем в обратном направлении. Это явление часто называют эффектом Ми. При дальнейшем увеличении радиуса практически весь рассеянный свет будет распространяться в направлении, близком к для проводящей сферы наибольшая концентрация света происходит также в этом направлении.

Рис. 13.11. Полярные диаграммы для рассеяния линейно поляризованного света диэлектрической сферой с показателем преломления

Однако если радиус сферы очень велик по сравнению с длиной волны, то, как следует из геометрической оптики, большая часть падающего света отражается.

Зависимость интенсивности рассеянного света от радиуса сферы иллюстрирует табл. 13.4. Наличие эффекта Ми ясно видно из сравнения величин, приведенных в первом и третьем рядах. Как мы видим, имеется очень быстрый рост интенсивности с увеличением размеров сферы; чтобы получить истинные значения интенсивности, данные в таблице нужно умножить на

Когда превышает единицу, т. е. диаметр сферы 2а больше появляется серия максимумов и минимумов, которые на первый взгляд распределены

Таблица 13.4. Зависимость нормированных значений интенсивности света, рассеянного диэлектрическими сферами с показателем преломления от параметра

не регулярно. Появление ряда максимумов и минимумов при больших согласуется с теорией Гюйгенса—Кирхгофа.

Результаты, относящиеся к поляризации рассеянного света, снова оказываются различными и зависят от того, велико ли значение

Для очень малых сфер с очень большой проводимостью или очень большой диэлектрической проницаемостью поляризация максимальна, когда (угол Томсона). С увеличением радиуса сферы ее максимум смещается в направлении увеличения 0.

Зависимость поляризации от угла наблюдения 0 для сфер с конечной проводимостью и конечной диэлектрической проницаемостью показана для двух типичных случаев на рис. 13.10 и 13.11. Когда радиус сферы очень мал диаграмма поляризации, как и диаграмма интенсивности, симметрична относительно плоскости и имеет максимум при где поляризация полная. В этом случае (рэлеевское рассеяние) степень поляризации можно записать в виде одного аналитического выражения, получающегося при подстановке (88) и (93) в (95), а именно

Эта формула была получена Рэлеем другим способом.

При увеличении радиуса сферы примерно до значения максимум поляризации смещается. В большинстве исследованных случаев смещение происходит в направлении увеличения для диэлектрических сфер и в направлении уменьшения для поглощающих сфер. При дальнейшем увеличении радиуса сферы появляется нерегулярная последовательность поляризационных максимумов.

В направлении свет при почти полностью поляризован, причем его электрический вектор перпендикулярен к плоскости наблюдения. При больших значениях это уже не так, и картина становится сложнее.

До сих пор мы ограничивались случаем монохроматического света. Однако мы часто сталкиваемся с рассеянием полихроматического света, и поэтому необходимо также рассмотреть эффекты, возникающие из-за наличия компонент с различными длинами волн. Заметим, что длина волны входит в наши формулы лишь через параметр и показатель преломления . В достаточно малой области длин волн практически не зависит от X, если в выражении (60) член, содержащий проводимость мал по сравнению со вторым членом, е. в случае слабо проводящей сферы. Вместе с тем в предельном случае бесконечно большой проводимости вообще не входит в наши формулы, и тогда интенсивности спектральных компонент зависят лишь от Таким образом, влияние изменения длины волны по существу эквивалентно влиянию, вызываемому изменением на соответствующую величину радиуса сферы, Так как

для разных длин волн максимумы поляризации оказываются при различных углах наблюдения, то при наблюдении рассеянного света через поляризующую призму видны сложные изменения цвета. Этот эффект называется полихроизмом. Зависимость поляризации рассеянного света от длины волны — дисперсия поляризации обеспечивает очень строгую проверку изложенной выше теории.