§ 8.5. Дифракция Фраунгофера на отверстиях разной формы

Исследуем теперь картину дифракции Фраунгофера от отверстий разной формы.

8.5.1. Прямоугольное отверстие и щель.

Рассмотрим сначала прямоугольное отверстие со сторонами . Если начало координат О находится в центре прямоугольника, а оси параллельны его сторонам (рис. 8.8), то дифракционный интеграл Фраунгофера (8.3.36) принимает вид

Тогда

Такой же вид имеет и второй интеграл. Следовательно, интенсивность записывается в виде

где, согласно (8.3.44), — интенсивность в центре картины, — полная энергия, падающая на отверстие, а — площадь прямоугольника.

Рис. 8.8. Прямоугольное отверстие.

Таблица 8.1. Пять первых максимумов функции

Рис. 8.9 Дифракция Фраунгофера на прямоугольном отверстии.

График функции приведен на рис. 8.9. Она имеет главный максимум при и минимумы, равные нулю, при .

Эти минимумы разделяют вторичные максимумы, положение которых определяется корнями уравнения (см. табл. 8.1). Значения корней асимптотически приближаются к величинам где нечетное целое число.

Очевидно, что интенсивность равна нулю вдоль двух рядов линий, параллельных сторонам прямоугольника. Положение этих линий определяется из соотношений

или, так как

Внутри каждого прямоугольника, образованного последовательными парами темных полос, интенсивности достигают максимумов, которые, однако, составляют лишь малую часчь интенсивности центрального максимума и быстро уменьшаются по мере удаления от центра (рис. 8.10). Следует отметить, что большему размеру отверстия соответствуют меньшие эффективные размеры дифракционной картины.

Рис. 8.10. Картина дифракции Фраунгофера на прямоугольном отверстии мм (по Липсону, Тейлору и Томпсону). Увеличение линия ртути Для выделения слабых вторичных максимумов центральная часть переэксноиироваиа.

Переход от элементарней дифракционной картины, образованной когерентным светом точечного источника, к дифракционной картине, обусловленной светом протяженного источника, можно осуществить путем интегрирования. В случае когерентного источника интегрируются комплексные амплитуды, в случае же некогерентного источника интегрируются интенсивности. Дифракционную картину, полученную с частично когерентным источником, можно найти таким же путем, если при интегрировании учесть корреляцию, существующую менаду излучением от различных точек источника (см. гл. 10).

Особенно важен случай дифракции некогерентного света от линейного источника (например, светящейся проволоки) на щели, параллельной источнику. Для простоты предположим, что как светящаяся проволока, так и щель бесконечно длинны, и допустим, что ось у параллельна источнику. Так как где определяет положение точечного источника, то интенсивность обусловленная линейным источником, получается интегрированием (1) по , т. е.

Как известно (см., например, [23]),

и, следовательно,

где

Дифракционная картина снова описывается функцией и состоит из последовательности светлых и темных полос, паралтельиых линейному источнику и щели. — постоянная интенсивность в центре