12.2.3. Выражения для амплитуд световых волн в дифрагировавших и отраженных спектрах.

Перед тем как обсуждать решение уравнений напишем выражения для полного светового возмущения в точке , находящейся позади рассеивающей среды. Для этого подставим (5) в

подынтегральное выражение в правой части (3), проинтегрируем (3) по всему объему, занятому рассеивающей средой, и прибавим к полученному результату выражение для падающего поля. Мы вновь столкнемся с интегралом рассматривавшимся в предыдущем разделе. Вспоминая, что в точке за рассеивающей средой определяется (106), и используя (18), получим для единственной не обращающейся в нуль компоненты полного прошедшего электрического поля следующее выражение:

где

Согласно (21) и (22) прошедшую волну можно считать состоящей из многих плоских волн с разными частотами и разными направлениями распространения. Подставляя (13) в экспоненту легко получить выражения для частот и углов, они оказываются такими же, как и в п. 12.1.2.

Аналогично можно, воспользовавшись (10в), написать выражения для амплитуд в отраженном спектре, они имеют вид

Однако здесь мы рассматриваем только точки, находящиеся позади рассеивающей среды, так как в данной задаче интенсивности волн разных порядков в отраженном спектре, вообще говоря, очень малы.

12.2.4. Решение методом последовательных приближений. Предполагая, что амплитуда ультразвуковой волны мала, мы решим в пп. 12.2.4 и 12.2.5 уравнения (18) — (20) и получим приближенные выражения для интенсивностей линий спектров первого и второго порядков в прошедшем свете. Случай, для которого это приближение не состоятельно, рассматривается качественно в п. 12.2.6; наконец, в п. 12.2.7 будут решены уравнения (18) — (20) в приближении, в основном эквивалентном приближению Рамана и Ната.

Сначала рассмотрим систему уравнений (18). Индекс в этих уравнениях позволяет различать величины, относящиеся к различным допустимым значениям Следовательно, можно отбросить этот индекс и переписать (18) в виде

где

Уравнения (24) образуют бесконечную систему линейных однородных уравнений для амплитуд Условием существования нетривиального решения, т. е. для всех I, является равенство нулю детерминанта, образованного из коэффициентов при Корни этого уравнения, содержащего детерминант, определяют допустимые значения величин Обозначим через Каждому такому соответствуют, конечно, два значения а именно и два ряда амплитуд, т. е. Теперь рекуррентное соотношение (24) определяет для данного допустимого значения например все значения через одно из них, допустим Так, все амплитуды можно выразить через Последние следует определить из уравнений (19) и (20), число которых как раз достаточно для этой цели (заметим, что в выражениях (5), (12), (15) и т. д. знак 2 означает суммирование как по так и по

Получим теперь приближенное решение (24), используя метод возмущений. Следуя обычной процедуре метода возмущений и считая А малым параметром, разложим по степеням имеем

Используя (266), можно записать в виде

где штрих означает дифференцирование по (Отмстим, что не равны нулю для всех положительных вещественных значений Подставляя (26) и (27) в соотношение (24), имеем

Приравнивая сначала здесь нулю все члены, не зависящие от А, получим в нулевом приближении

Решениями уравнения (29) служат

Обозначая через значение определяемое уравнением найдем из (30)

и

Далее, приравнивая нулю коэффициент при А в (28), получим

Полагая здесь последовательно и используя (32), найдем

и

Подобным же образом, приравнивая нулю коэффициент при в (28), получим следующие выражения для поправки к и для амплитуд до второго порядка:

и

Как следует из предшествующих вычислений, в нулевом порядке теории возмущений отличны от нуля лишь величины в первом порядке отличны от нуля а во втором порядке отличаются нуля также и Аналогично при вычислениях в более высоких порядках теории возмущений находим, что все большее число недиагональных амплитуд (т. е. амплитуд с разными индексами) отлично от нуля. Эти вычисления длинны, и мы не приводим их здесь. Однако можно предположить, что во всех случаях применимости теории возмущений можно пренебречь членами высших порядков.

Недиагональные амплитуды (346) и (356) полностью определены, если известны диагональные амплитуды, дающие решение (24) нулевого порядка. Мы находим последние из (19) и (20). Однако сначала поучительно исследовать решения этих уравнений в простом случае для которого легко получить точное решение уравнений (18) — (20). Здесь возможными нулевыми амплитудами являются только диагональные амплитуды Если мы положим все недиагональные амплитуды в (19), (20) равными нулю, то найдем, что все амплитуды тождественно равны нулю, кроме которые равны

где

Для нормального падения света из соотношений (11), (31) и (36) находим

С помощью (36), (27) и (23) легко получается следующее выоажение для отражательной способности при нормальном падении на плоскопараллельную пластинку:

что согласуется с (7.6.9), так как при

Если А отличается от нуля, но остается еще достаточно малым, чтобы можно было применять метод возмущений, то из приведенного выше решения для следует, что

Таким образом, для нахождения диагональных амплитуд нужно решить уравнения (19) и (20) методом последовательных приближений. Кроме юго, поскольку для нормального или почти нормального падения света (в экспериментах по дифракции на ультразвуке 9 равно самое большее 3°) отношение данного соответствующему мало (см (37)), можно вообще пренебречь

и определять только из уравнений (19). Следует напомнить, что такая же аппроксимация подразумевается и в случае использования граничных условий (12.1.15).

Выражения для диагональных амплитуд можно теперь получить из (19), используя (34б), (34в), (356) и (35в). Далее выражения для интенсивностей линий в спектрах первого и второго порядков в прошедшем свете можно легко написать с помощью (22). Эти выражения будут приведены ниже.