10.3.2. Спектральное представление взаимной когерентности.
Пусть
— интегральное фурье-представление вещественной обрезанной функции 
Тогда обратное фурье-преобразование дает
откуда следует, что
Разделим обе части последнего соотношения на 
и применим к величине 
«операцию сглаживания» по ансамблю случайных функций 
Такое усреднение по ансамблю (обозначавшееся чертой) было описано выше в связи с уравнением (10.2.20). Наконец, переходя к пределу 
, мы можем ожидать, что
где
Функцию 
можно назвать взаимной спектральной плотностью световых колебаний в точках 
Она представляет собой обобщение спектральной плотности, введенной ранее (см. (10.2.22)), и переходит в нее при совпадении обеих точек. Понятие взаимной спектральной плотности является оптическим аналогом понятия взаимного спектра мощности в теории стационарных случайных процессов. Уравнение (27) показывает, что вещественная корреляционная функция 
и взаимная спектральная плотность 
образуют пару, связанную фурье-преобразованием.
Перейдем теперь к комплексному представлению. Пусть
— аналитический сигнал (см. § 10.2), ассоциированный с 
. Пользуясь теми же приемами, при помощи которых мы перешли от (24) к (27), можно показать, что
Так как величина 
не содержит спектральных компонент, принадлежащих отрицательным частотам, она представляет собой аналитический сигнал. Следовательно, если через и обозначить 
вещественную и мнимую части, т. е. считать, что
то эти функции будут связаны преобразованиями Гильберта, а именно
Отсюда вытекает, что величина 
рассматриваемая как функция 
является огибающей 
(см. (10.2.10)-(10.2.15)), а из (30), (31) и (27) следует, что 
Кроме того, 
служит огибающей вещественного коэффициента корреляции
Уравнение (30) служит спектральным представлением взаимной функции когерентности 
. Уравнение (33) показывает, что вещественная часть 
равна удвоенному значению взаимной корреляционной функции вещественных функций 
а (32) определяет связь между вещественной и мнимой частями 
