ЧАСТЬ III. СИММЕТРИИ И ИНВАРИАНТНОСТЬ

ГЛАВА XIII. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

§ 1. Введение

Свойства симметрии уравнений движения в квантовой меха нике играют столь же большую роль, как и в классической механике. Систематическое изучение симметрии и ее следствий будет проведено с общей точки зрения в главе XV. Настоящая глава посвящена симметрии по отношению к вращениям — одному из наиболее важных видов симметрии. В квантовой механике, так же как и в классической, вращение системы связано с ее моментом импульса, и из инвариантности уравнений движения относительно вращений следует закон сохранения момента импульса. Различия с классической механикой возникают из-за того, что момент импульса не является теперь обычным вектором, а состоит из трех некоммутирующих операторов — компонент векторного оператора.

В разделе I мы определяем момент импульса правилами коммутации его компонент (соотношения (3)) и исследуем задачу на собствейные значения операторов Р и пользуясь только этими правилами и утверждением, что все три компоненты являются наблюдаемыми. Этот подход, предложенный Дираком, во многом аналогичен рассмотрению гармонического осциллятора в главе XII.

Раздел II посвящен специальному случаю — орбитальному моменту импульса частицы и построению соответствующих собственных функций (сферических функций).

В разделе III устанавливается связь между вращениями и оператором момента импульса. Вращение физической системы описывается посредством некоторого оператора, который зависит от компонент полного момента, и его вид определяется уравнением (60). Доказывается, что инвариантность уравнений движения относительно вращений эквивалентна обращению в нуль коммутаторов гамильтониана с тремя компонентами оператора момента, откуда следует закон сохранения момента импульса.

Эксперимент показывает, что большинство частиц обладает внутренним моментом импульса — спином. Понятие спина рассматривается в разделе IV,

Раздел V посвящен важному вопросу сложения моментов импульса.

Различные операторы квантовой механики можно характеризовать в соответствии с законом их преобразования при вращениях. В частности, существуют скалярные операторы (ин-вариантные относительно вращений), векторные операторы и, вообще говоря, неприводимые тензорные операторы, трансформационные свойства которых особенно просты. Эти операторы характеризуются также простыми коммутационными соотношениями с компонентами оператора момента, откуда следуют некоторые важные свойства их представлений (теорема Вигнера—Эккарта). Все это рассматривается вместе с основными приложениями в разделе VI и последнем разделе этой главы.

Дополнение В к настоящей главе содержит наиболее важные формулы и основные свойства разлйчных коэффициентов, связанных с вращениями и сложением моментов импульса.