Раздел II. ОБОБЩЕНИЕ НА ИСКАЖЕННЫЕ ВОЛНЫ
§ 11. Обобщенное борновское приближение
Может случиться, что потенциал 
слишком велик для использования борновского приближения, но мы в состоянии точно решить задачу рассеяния для потенциала, близкого к V. Тогда удобно рассматривать разность между ними как возмущение, которое легко учесть, используя простое обобщение методов раздела I.
Пусть
Тогда имеем
где Н — невозмущенный гамильтониан, 
— возмущение. Будем считать, что 
и V стремятся к нулю быстрее, чем 
(обобщение на потенциалы 
будет сделано в § 15). Стационарные состояния 
предполагаются известными. Будем обозначать их буквой х, а соответствующие амплитуды — буквой 
. В дальнейшем мы следуем обозначениям § 2. Величины 
определены соотношениями
Все результаты раздела I, относящиеся к гамильтониану Н, справедливы также и для 
. В частности, можно определить матрицу перехода для столкновений при энергии Е, описываемых гамильтонианом 
Обозначим ее 
Вспомним, что в § 2 мы получили
Интегральное представление для разности 
можно получить, используя (9). Пусть
Тогда получим
Аналогично, если 
Из соотношений (71) и (72) следует
что является обобщением соотношения (18).
Любое из этих двух интегральных представлений можно использовать для построения теории возмущений. Соотношение
Второе слагаемое дает поправку, обусловленную 
Для достаточно малых 
точная стационарная волна 
мало отличается от 
и может быть заменена последней в поправочном члене. Таким образом, получаем амплитуду перехода с точностью до первого порядка по возмущению 
то получим обычное борновское приближение. В общем случае, когда 
вычислить этот интеграл гораздо труднее, чем интеграл из формулы Борна. Ситуация становится отчасти проще, когда и 
и V сферически симметричны. Тогда можно использовать разложения (задача 4)
означает регулярное решение радиального уравнения
— сдвиг фазы 
-волны в потенциале 
Подставляя разложения 
в интеграл (76) и интегрируя по углам, находим
.
