§ 17. Операторы преобразования. Импульс, момент импульса, четность
Для того чтобы продолжить этот анализ в соответствии с общей схемой, которая была развита в главе XV, мы запишем закон преобразования (104) в виде
где Т — соответствующий линейный оператор. Инвариантность уравнения Дирака при преобразованиях можно тогда выразить как соотношение между операторами
где 
— операторы Дирака с потенциалами 
Условие того, что уравнение движения не меняется при преобразовании 
можно записать как соотношение коммутации
Оператор Т легко построить. Он является произведением операторов 
действующего только на спиновые переменные, и 
действующего только на орбитальные переменные,
Сравнивая формулы (109) и (104), видим, что
где 
обозначает оператор, который представляется определенной в § 11 матрицей 
.
Найдем явный вид Т для инфинитезимальных трансляций и лореицевых «поворотов» и для отражения 
В случае трансляций 
Введем дифференциальный оператор
который представляет собой четырехмерный вектор энергии-импульса (более точно — ковариантные компоненты этого 
-вектора). Для бесконечно малого сдвига на 
вдоль оси 
нахо
Рассмотрим «инфинитезимальный поворот» на угол 
в плоскости 
. В этом случае имеем
Если 
— некоторая компонента спинора Ч, то в первом порядке по 
Введя дифференциальный оператор
перепишем предыдущее соотношение в виде
С другой стороны, на основании формул (90) и (113) имеем;
где 
— оператор, определяемый равенством (92). Окончательно формула (109), которая выражает закон преобразования спиноров, для случая «инфинитезимального поворота» при нимает вид
где
Три пространственных компоненты 
оператора 
связаны с инфинитезимальными вращениями вокруг осей 
соответственно. Они являются компонентами пол ного момента импульса 
и справедливы равенства
Компоненты 
действуют только на орбитальные переменные: 
— оператор орбитального момента импульса. Компоненты S действуют только на внутренние переменные: S - оператор спина частицы.
Легко показать, что 
и S удовлетворяют коммутационным соотношениям, характеризующим момент импульса, и 
откуда следует, что спин частицы равен 1/2.
Оператор, связанный с пространственным отражением, называется оператором четности и обозначается Р. Пусть 
обозначает оператор «орбитальной четности»:
В силу равенства (113) и результатов § 13 (см. равенство (102)), мы можем выбрать для Р два выражения, отличающиеся знаком. Выберем наиболее часто употребляемое
Отметим, что оператор Р эрмитов и 
