§ 3. Вариационное вычисление дискретных уровней

Мы видели в § 1, что приближенное решение вариационного уравнения (3) можно получить, ограничивая область изменения векторов только частью пространства состояний. При удачном выборе этой области мы получаем некоторые собственные векторы Н с хорошей точностью, а соответствующие им собственные значения — с еще лучшей точностью.

Метод становится особенно простым в том случае, когда пробная функция линейно зависит от вариационных параметров, т. е. когда также является векторным пространством. Тогда — подпространство в обычном смысле (§ VII. 2).

Введем обозначения: Р — проектор на Ф — произвольный вектор а — сужение гамильтониана на

функционал (определение равен среднему значению Эрмитов оператор линейно преобразует векторы из в себя и может рассматриваться как эрмитов оператор в пространстве для которого справедлива основная теорема § 2. Следовательно, вариационное уравнение

эквивалентно уравнению на собственные значения

Таким образом, вариационное приближение состоит в замене задачи на собственные значения оператора Н на аналогичную Задачу, которая a priori легче для решения, поскольку она определена в более узком пространстве.

Отметим аналогию с теорией возмущений (§ XVI. 8). В частности, если есть подпространство, отвечающее данному собственному значению невозмущенного гамильтониана, то вариационный метод и вычисление в первом порядке по теории возмущений дадут одинаковые уровни.