Раздел II. ВОЗМУЩЕНИЕ ВЫРОЖДЕННОГО УРОВНЯ

§ 8. Элементарная теория

Предположим, что собственное значение невозмущенного гамильтониана -кратно вырождено. Мы сохраним обозначения § 2 и обозначим подпространство, отвечающее — проектор на

Теперь к при может стремиться более одного собственного значения Н. Обозначим эти собственные значения кратности их вырождения и отвечающие им подпространства Тогда имеем

и пространство при стремится к Если Р — проектор на то он является непрерывной функцией и

Определение собственных значений и собственных функций по теории возмущений сложнее, чем в случае невырожденного невозмущенного собственного значения. В разделе III будет дано строгое решение этой задачи во всех порядках. Здесь же, оставляя в стороне строгость изложения и ограничиваясь низшими порядками, рассмотрим, что дает метод § 2 в применении к этой задаче.

Пусть Е — одно из собственных значений — один из собственных векторов, отвечающих Е. В пределе, когда стремится к некоторому вектору о котором пока можно только сказать, что он принадлежит пространству Предположим, что Е и можно представить в виде разложений (5) и (6) с условием нормировки (4). Их коэффициенты связаны друг с другом уравнениями (7) и (8) и могут быть определены рекуррентно.

Уравнение (7°) требует, чтобы вектор принадлежал

Проекция на дает

а проекция на дополнительное пространство

где мы обозначили

и определили согласно формуле (10).

Уравнение (36) есть уравнение на собственные значения в подпространстве — собственное значение оператора — соответствующий собственный вектор. Запишем (36) в представлении

откуда видно, что поправка первого порядка получается диагонализацией матрицы с матричными элементами

Возможные значения — собственные значения этой матрицы.

Если имеется различных собственных значений, то все они невырождены и возмущение полностью устранило вырождение. Если же различных собственных значений меньше то некоторые из них будут вырожденными и вырождение устранено лишь частично.

Если поправка первого порядка — невырожденное собственное значение, то соответствующий собственный вектор полностью определен в нулевом порядке с точностью до константы уравнениями (7°) и (71). Проекция поправки первого порядка к на дополнение к дается равенством (37), а проекция на остается неопределенной, за исключением условия (4). Если же -кратно вырождено, то уравнения (7°) и (71) показывают только, что вектор принадлежит мерному подпространству; для более точного определения нужно обратиться к высшим порядкам.

Выбрав одно из значений и проектируя (72) на подпространство, отвечающее получаем поправку второго порядка Это подпространство, которое мы обозначим содержится в обозначим соответствующий проектор а проек тор на ортогональное дополнение в через Р

Тогда имеем

Проекция уравнения (72) дает

следовательно, используя (37),

Для поправок второго порядка уравнение (39) является аналогом уравнения (36) для поправок первого порядка. Точно так же, как было собственным значением является собственным значением соответствующий собственный вектор.

Если — невырожденное собственное значение то определено уравнениями низших порядков, и мы имеем

как и в случае невырожденного уровня. Если же то вычисление требует нахождения собственных значений матрицы. Если все они различны, то вырождение полностью устраняется во втором порядке; в противном случае, если необходимо, переходят к высшим порядкам.

В ряде случаев вырождение сохраняется во всех порядках. Мы встречались уже с такими примерами: кулоновская энергия ядер (§ 5) и эффект Штарка для жесткого ротатора (§ 7). Обычно, изучая симметрию , можно предсказать, насколько вероятно устранение вырождения невозмущенного уровня возмущением XV. Систематическое обсуждение этого вопроса приведено в § 13, ниже мы проиллюстрируем метод вычисления поправок первого порядка на ряде примеров, взятых из атомной физики.