§ 19. Интегральные представления амплитуды перехода

Чтобы найти интегральные представления для нужно несколько модифицировать соотношение (9).

Пусть — два возможных гамильтониана исследуемой квантовой системы. Н и Н имеют одну и ту же кинетическую энергию, но их потенциальные энергии могут быть различны. Мы будем считать, что отличие сводится к членам, которые убывают на бесконечности быстрее, чем Стационарные решения для с энергией Е обозначим соответственно. Отметим, что ряд каналов может быть открыт для столкновений, описываемых Н, и закрыт для столкновений, описываемых В, и наоборот. Пусть канал открыт для столкновений, которые описываются гамильтонианом . Следовательно, существует решение отвечающее начальным условиям Оно удовлетворяет уравнению

и для любого открытого канала (напомним, что по предположению любой канал имеет не более двух частиц) имеет асимптотики

Можно показать, что

Метод доказательства тот же, что и в случае соотношения (9). Умножая уравнение (111) на а комплексно сопряженное к уравнению и вычитая результаты друг из друга, получаем

К соотношению (118) приходим после суммирования по спиновым переменным и интегрирования по всему конфигурационному пространству. Несмотря на то, что оператор Н эрмитов, вклад от выражения в квадратных скобках может быть отличен от нуля, поскольку ни одно из решений не имеет конечной нормы. Чтобы сосчитать этот вклад, вычислим вначале интеграл по конечному объему конфигурационного пространства, а затем рассмотрим предел этого интеграла, когда объем стремится к бесконечности. Используя теорему Грина, интеграл по объему можно преобразовать в интеграл по поверхности. Последний имеет вид суммы, слагаемые которой отвечают различным открытым каналам общим для и Ф,

Символ аналогичен обозначению, которое было использовано в § 2. По определению

где символ означает суммирование или интегрирование по всем переменным кроме относительного расстояния Различные слагаемые в правой части равенства (119) можно вычислить, подставляя вместо и их радиальных производных соответствующие асимптотические выражения (112) и (117). Для любого канала, отличного от а и представляет собой чисто расходящуюся волну, а — чисто сходящуюся волну, следовательно, асимптотически стремится к нулю. Для каналов получаем отличный от нуля вклад, поскольку в одном из двух асимптотических выражений присутствует плоская волна. Вычисление аналогично выполненному в § 2 и приводит к двум членам, стоящим в правой части соотношения (118).

Важное соотношение (118) можно преобразовать к более удобному виду. Для этого выпишем (118) в частном случае, когда Левая часть обращается в нуль, и мы имеем

Сравнивая это равенство с определением получаем эквивалентное определение

Эти же определения справедливы и для матрицы перехода , связанной с гамильтонианом Я. Таким образом, соотношение (118) можно также записать так:

Именно в этом виде мы и будем его использовать.

Это соотношение выполняется и в случае, когда канал а закрыт для волны если положить Оно выполняется также в случае, когда канал закрыт для если положить

В частности, если то сводится к плоской волне и поскольку соотношение (120) дает

Заменяя Н на и на Н, получаем

Выведенные нами соотношения справедливы для любых типов столкновений: упругого рассеяния неупругого рассеяния или рассеяния с перераспределением