Раздел II. УРАВНЕНИЯ КЛЕЙНА — ГОРДОНА И ДИРАКА

§ 5. Уравнение Клейна—Гордона

Построение релятивистского волнового уравнения для электрона является сложной задачей из-за наличия у электрона спина. Найдем вначале релятивистское волновое уравнение для частицы спина 0, например, -мезона. Такая частица не имеет внутренних степеней свободы и ее волновая функция V может зависеть только от и Обозначим массу частицы заряд и предположим, что она находится во внешнем электромагнитном поле .

При выводе волнового уравнения будем действовать эмпирически, руководствуясь принципом соответствия. Это гарантирует нам получение классических уравнений движения в случае, когда справедливо квазиклассическое приближение.

Напомним правило соответствия Шредингера

Вводя , получаем

Из выражения (25) для гамильтониана имеем

откуда, используя (26), следует волнозое уравнение

Данное уравнение обладает двумя серьезными недостатками. Во-первых, асимметрия пространственных и временной координат не позволяет увидеть явной релятивистской инвариантности. Во-вторых, в правой части стоит квадратный корень, которому трудно придать смысл оператора, за исключением случая

Оба недостатка исчезают, если в качестве исходной точки выбрать соотношение (20), которое дает

Это соотношение эквивалентно более общему соотношению, чем (27)

Классическим решениям отвечает знак «+»; знак «-» дает решения с отрицательной массой, что не имеет физического смысла. Таким образом, выбирая в качестве исходного соотношение (28), мы вводим лишние решения с отрицательной массой.

Применение правила соответствия к (28) дает уравнение Клейна — Гордона

которое можно также записать в явно релятивистски инвариантном виде

Рассмотрим кратко интерпретацию этого уравнения Ограничимся для простоты случаем, когда внешнее поле равно нулю. Уравнение приобретает простой вид (см. § II. 12)

Это дифференциальное уравнение второго порядка по времени и для определения при всех временах необходимо знагь в начальный момент как так и Возникшую трудность легко обойти, если постулировать, что динамическое состояние системы в данный момент определяется не одной функцией а двумя — и или их линейными комбинациями

Иначе говоря, состояние системы определяется волновой функцией с двумя компонентами Ф и Такая волновая функция удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка по времени, которое легко получить из уравнения Клейна — Гордона. В нерелятивистском пределе энергия частицы приблизительно равна ее массе покоя т. и

следовательно, . Одна из компонент становится пренебрежимо малой по отношению к другой, и мы получаем нерелятивистскую

теорию Шредингера, в которой динамическое со стояние частицы со спином 0 определяется однокомпонентной волновой функцией.

Для интерпретации волновой функции необходимо определить плотность вероятности положения частицы Р и плотность вероятности потока которые удовлетворяют уравнению непрерывности (см. § IV. 4)

или, вводя обозначение получим

Функции и Т удовлетворяют уравнению (31), следовательно,

и, используя определение оператора Даламбера, имеем

Уравнение непрерывности будет выполнено, если выбрать пропорциональным выражению, стоящему в квадратных скобках. Коэффициент пропорциональности выбирается так, чтобы в нерелятивистском пределе получилось обычное определение

т. е.

Исследуя выражение (34) получаем, что плотность является положительно определенной. В этом заключается основная трудность, связанная с уравнением Клейна — Гордона.

Другая трудность, связанная с предыдущей, относится к «решениям с отрицательной энергией». Если, например, рассматривать плосковолновые решения уравнения без внешнего поля

то, подставляя это выражение в (31), получим

Следовательно, существуют решения с отрицательной энергией Их появление, очевидно, вызвано упоминавшимся

выше введением в теорию отрицательных масс (было бы более корректным называть их решениями с отрицательной массой; однако при нулевом внешнем поле различие между массой и энергией иллюзорно). Для преодоления этих трудностей мы, следуя Паули и Вайскопфу, изменим интерпретацию 4-вектора и определение средних значений. При новой интерпретации теории величина отвечает 4-вектору плотности тока, в частности, есть плотность электрического заряда. Следовательно, уравнение (33) выражает закон сохранения заряда. С другой стороны, число частиц не сохраняется, что вызвано возможностью аннигиляции или рождения пар частиц с противоположными зарядами. Последовательное рассмотрение таких явлений возможно только в теории поля. При выбранной интерпретации мы получаем теорию одного заряда, а не одной частицы. В теории Дирака нам удастся построить положительно определенную плотность Р, однако мы увидим, что трудность, связанная с отрицательными энергиями, остается, и теорию Дирака также нельзя считать удовлетворительной одночастичной теорией (раздел VI).